실수 수열의 극한

Definition (Limit of a Sequence). A sequence \((a_n)_{n=1}^\infty\) of real numbers converges to $L \in \mathbb{R}$, written $\lim_{n\to\infty} a_n = L$ or $a_n \to L$, if for every $\varepsilon > 0$ there exists $N \in \mathbb{N}$ such that $\vert a_n - L\vert < \varepsilon$ for all $n \ge N$.

극한의 개념을 다룰 때 주로 등장하는 수학자는 Cauchy인데, Cauchy가 위의 정의를 엄밀하게 한 것은 아니지만, 1821년 Cours d’Analyse에서 극한의 개념을 명시적으로 정식화하고, 그 위에 미적분학의 모든 핵심 개념을 체계적으로 재건축했다. 위와 같은 형태의 정의는 Bolzano가 1817년 논문에서, 그리고 Weierstrass가 1870년대 베를린에서의 강의를 통해 각각 독자적으로 다듬은 것으로 알려져 있다 [1].

Proposition (극한의 유일성). If $a_n \to L$ and $a_n \to L’$, then $L = L’$.

Proof. $L \neq L’$이라 하고 $\varepsilon = \vert L-L’\vert/2 > 0$으로 두자. 어떤 $N$ 이후로는 $\vert a_n-L\vert<\varepsilon$이고 어떤 $N’$ 이후로는 $\vert a_n-L’\vert<\varepsilon$이므로, $n\ge\max(N,N’)$인 $n$에 대해 삼각부등식으로 $\vert L-L’\vert \le \vert L-a_n\vert+\vert a_n-L’\vert < 2\varepsilon = \vert L-L’\vert$이 되어 모순. $\blacksquare$

$(a_n)$이 수렴하지 않으면 발산한다(diverges)고 하는데, 발산하는 수열 중에서도 특별한 두 가지를 다음과 같이 정의한다.

Definition. $a_n \to \infty$ iff $\forall M > 0\ \exists N$ such that $a_n > M\ \forall n \geq N$. $a_n \to -\infty$ iff $\forall M < 0\ \exists N$ such that $a_n < M\ \forall n \geq N$.

유계이고 단조인 수열

수열 $(a_n)$이 bounded라는 것은 어떤 $M$이 있어 모든 $n$에 대해 $\vert a_n\vert \le M$이라는 뜻이고, monotone increasing이라는 것은 모든 $n$에 대해 $a_n \le a_{n+1}$이라는 뜻이다.

실수의 완비성 덕분에 다음과 같은 아주 중요하고 자주 쓰이는 성질이 보장된다.

Theorem (Monotone Convergence Theorem). A bounded, monotone increasing sequence $(a_n)$ converges, and $\lim_{n\to\infty} a_n = \sup_n a_n$.

Proof. $L := \sup_n a_n$이라 하자 (수열이 bounded이므로 이 sup은 실수로 존재한다. 여기서 실수의 완비성, 즉 위로 유계인 집합은 상한을 갖는다는 성질이 쓰인다). 임의의 $\varepsilon>0$에 대해, sup의 정의상 $L-\varepsilon < a_N \le L$인 $N$이 존재한다. 수열이 monotone increasing이므로 $n\ge N$이면 $L-\varepsilon < a_N \le a_n \le L$이고, 따라서 $\vert a_n - L\vert < \varepsilon$. $\blacksquare$

같은 논리로, bounded monotone decreasing sequence $(a_n)$은 $\inf_n a_n$으로 수렴한다.

limsup과 liminf

Definition (limsup, liminf).

\[\limsup_{n\to\infty} a_n := \lim_{N\to\infty} \Big(\sup_{n\ge N} a_n\Big) = \inf_{N} \sup_{n\ge N} a_n,\] \[\liminf_{n\to\infty} a_n := \lim_{N\to\infty} \Big(\inf_{n\ge N} a_n\Big) = \sup_{N} \inf_{n\ge N} a_n.\]

$\lim$은 항상 존재하는 것은 아니지만, $\limsup, \liminf$는 (유한한 값이든 $\infty$나 $-\infty$든) 항상 존재한다. 모든 $N$에 대해 $\sup_{n\ge N} a_n=\infty$라면 $\limsup a_n = \infty$이고, 그렇지 않다면 $\sup_{n\ge N} a_n$은 (모든 $N$에 대해 유한하며) $N$에 대해 monotone decreasing이므로 MCT에 의해 극한을 갖는다. $\liminf a_n$도 마찬가지 논리로 $-\infty$이거나 어떤 값을 갖는다.

Proposition. For any sequence $(a_n)$, $\liminf_{n\to\infty} a_n \le \limsup_{n\to\infty} a_n$.

Proof. 모든 $N$에 대해 $\inf_{n\ge N} a_n \le \sup_{n\ge N} a_n$이므로, 양변에 각각 $N\to\infty$ 극한(왼쪽은 증가하는 극한, 오른쪽은 감소하는 극한)을 취해도 부등호는 유지된다. $\blacksquare$

Proposition (수렴 판정). $(a_n)$ converges to $L \in \mathbb{R}$ if and only if $\liminf_{n\to\infty} a_n = \limsup_{n\to\infty} a_n = L$.

이 성질이 실전에서 가장 유용하다. 수열이 수렴하는지, 수렴한다면 그 값이 무엇인지를 liminf와 limsup을 각각 계산해서 확인할 수 있다.

Proposition (Duality). $\limsup_{n\to\infty}(-a_n) = -\liminf_{n\to\infty} a_n$.

Proof. $\sup_{n\ge N}(-a_n) = -\inf_{n\ge N} a_n$이 모든 $N$에 대해 성립하므로, $N\to\infty$ 극한을 취하면 된다. $\blacksquare$

Proposition (단조성). If $a_n \le b_n$ for all sufficiently large $n$, then $\limsup_{n\to\infty} a_n \le \limsup_{n\to\infty} b_n$ and $\liminf_{n\to\infty} a_n \le \liminf_{n\to\infty} b_n$.

Proposition (Subadditivity). $\limsup_{n\to\infty}(a_n+b_n) \le \limsup_{n\to\infty} a_n + \limsup_{n\to\infty} b_n$ and $\liminf_{n\to\infty}(a_n+b_n) \ge \liminf_{n\to\infty} a_n + \liminf_{n\to\infty} b_n$ (우변이 $\infty-\infty$ 꼴이 아닌 한).

Proof (limsup 쪽만). 각 $N$에 대해 $n\ge N$인 모든 $n$에 대해 $a_n \le \sup_{n\ge N} a_n$이고 $b_n \le \sup_{n\ge N} b_n$이므로 $a_n+b_n \le \sup_{n\ge N} a_n + \sup_{n\ge N} b_n$이다. 따라서 $\sup_{n\ge N}(a_n+b_n) \le \sup_{n\ge N} a_n + \sup_{n\ge N} b_n$이고, $N\to\infty$ 극한을 취하면 원하는 부등식을 얻는다. $\blacksquare$

이 부등식은 일반적으로 등호가 성립하지 않는다. $a_n = (-1)^n$, $b_n = (-1)^{n+1} = -a_n$이라 하면 $a_n+b_n=0$이니 $\limsup(a_n+b_n)=0$이지만, $\limsup a_n = \limsup b_n = 1$이라 우변은 $2$다. 다만 $(a_n)$과 $(b_n)$ 중 하나가 실제로 수렴하면 등호가 성립한다는 것도 어렵지 않게 보일 수 있다.

Proposition. $\limsup_{n\to\infty} a_n < a \implies \exists N$ such that $a_n < a\ \forall n \geq N$.

Proof. $r:=\limsup a_n < a$라 하자. $\limsup a_n = \inf_N \sup_{n\ge N} a_n$이 $a$보다 작으므로, 어떤 $N$에 대해 $\sup_{n\ge N} a_n < a$이다. 그러면 $n\ge N$인 모든 $n$에 대해 $a_n \le \sup_{n\ge N} a_n < a$. $\blacksquare$

참고로 가정을 $\limsup a_n<a$에서 $\limsup a_n\le a$로 완화하면 결론은 더 이상 성립하지 않는다 (예: $a_n=a+1/n$이면 $\limsup a_n=a$이지만 모든 $n$에 대해 $a_n>a$다).

Proposition. $\liminf_{n\to\infty} a_n > a \implies \exists N$ such that $a_n > a\ \forall n \geq N$.

Proof. 앞서 본 Duality를 쓰거나, 위 증명에서 부등호와 sup/inf를 전부 뒤집으면 된다. $\blacksquare$

실수 수열 극한의 여러 가지 성질과 관계성

$\lim$은 항상 존재하는 것은 아니므로, 그보다 약하지만 유용한 성질들을 알아보자. 자연스럽게 등장하는 네 가지 성질(수렴한다(convergent), 유계다(bounded), $\limsup, \liminf$ 중 하나 이상이 유한하다, 수렴하는 부분수열을 갖는다) 사이의 관계를 하나씩 밝혀나가보자.

Proposition. If $(a_n)$ converges, then $(a_n)$ is bounded.

Proof. $a_n\to L$이라 하자. $\varepsilon=1$로 두면 어떤 $N$이 있어 $n\ge N$이면 $\vert a_n-L\vert<1$이다. $a_1,\dots,a_{N-1}$은 유한히 많으므로, 전체 수열은 $\max(\vert a_1\vert,\dots,\vert a_{N-1}\vert,\vert L\vert+1)$로 bound된다. $\blacksquare$

역은 성립하지 않는다. $a_n=(-1)^n$은 bounded이지만 발산한다.

한편, boundedness는 다음 성질과 동치다.

Proposition. $(a_n)$ is bounded if and only if both $\limsup_{n\to\infty} a_n$ and $\liminf_{n\to\infty} a_n$ are finite (i.e., in $\mathbb{R}$, not $\pm\infty$).

Proof. ($\Rightarrow$) $(a_n)$이 bounded이면 모든 $N$에 대해 $\sup_{n\ge N}a_n$과 $\inf_{n\ge N}a_n$이 이미 유한하므로, 그 극한인 $\limsup, \liminf$도 유한하다. ($\Leftarrow$) 대우를 보이자. $(a_n)$이 위로 유계가 아니라면, 임의의 $N$에 대해 \(\{a_n : n\ge N\}\)도 위로 유계가 아니다. 그렇지 않다면 앞의 유한히 많은 항 $a_1,\dots,a_{N-1}$을 더해도 전체 수열이 위로 유계가 되어 모순이기 때문이다. 따라서 모든 $N$에 대해 $\sup_{n\ge N} a_n=\infty$이고, $\limsup a_n=\infty$. 아래로 유계가 아닌 경우도 대칭적으로 $\liminf a_n=-\infty$가 된다. $\blacksquare$

이제 boundedness보다는 약하지만 매우 유용한 다음 성질을 살펴보자.

Theorem (Bolzano–Weierstrass). Every bounded sequence of real numbers has a convergent subsequence.

Bolzano가 1817년 논문에서 실질적으로 이와 동등한 내용을 다뤘고, Weierstrass가 1860년대 강의에서 이를 명시적인 정리로 다듬어 오늘날의 이름이 붙었다 [1].

Proof. $(a_n)$이 bounded이면 앞의 Proposition에 의해 $\limsup_{n\to\infty} a_n$은 (무한대가 아니라) 유한한 실수이다. 다음 Proposition에 의해, 이 값으로 수렴하는 부분수열이 실제로 존재한다.

Proposition. $\limsup_{n\to\infty} a_n = a \implies$ there exists a subsequence of $(a_n)$ converging to $a$.

Proof. $b_N:=\sup_{n\ge N}a_n$은 $N$에 대해 감소하며 $a$로 수렴한다. 귀납적으로 $n_1<n_2<\cdots$를 다음과 같이 고른다: $k$번째 단계에서, $b_N < a+1/k$인 $N$을 하나 골라 $N_k:=\max(N, n_{k-1}+1)$로 두면 $b_{N_k}<a+1/k$이고, 한편 $b_{N_k}=\sup_{n\ge N_k}a_n \ge a$이므로 (감소하며 $a$로 수렴하는 수열의 각 항은 극한 이상이다) sup의 정의상 $a-1/k < a_{n_k} \le b_{N_k} < a+1/k$인 $n_k\ge N_k$가 존재한다. 그러면 $\vert a_{n_k}-a\vert<1/k\to0$이므로 $a_{n_k}\to a$. $\blacksquare$

이 Proposition을 $a=\limsup_{n\to\infty}a_n$에 적용하면 Bolzano–Weierstrass의 증명이 끝난다. $\blacksquare$

Boundedness가 “$\limsup,\liminf$ 둘 다 유한”과 동치이므로, 방금 보인 것은 사실상 “$\limsup,\liminf$ 둘 다 유한하면 수렴하는 부분수열이 있다”는 것과 같은 말이다. 그런데 증명을 다시 보면 실제로는 $\limsup$ 하나가 유한하다는 것만 썼다. 즉 둘 중 하나만 유한해도 이미 충분하다.

그리고 $\limsup$과 $\liminf$는 정확히 이 convergent subsequence들이 수렴할 수 있는 값의 범위를 특징짓는다.

Proposition (subsequential limit로서의 특징). $\limsup_{n\to\infty} a_n$ is the largest element of $\overline{\mathbb{R}}$ that is the limit of some subsequence of $(a_n)$, and $\liminf_{n\to\infty} a_n$ is the smallest such element.

지금까지의 관계를 한 번에 정리하면 다음과 같다.

\[\text{수렴} \implies \text{bounded} \;(=\; \limsup,\liminf \text{ 둘 다 유한}) \implies \limsup,\liminf \text{ 중 하나 이상 유한} \implies \text{수렴하는 부분수열을 가짐}\]

점점 약해지는 성질들의 사슬이고, 표시된 각 함의는 역이 성립하지 않는 엄격한 함의다.

흥미롭게도, 이 사슬에서 가장 약한 성질인 “수렴하는 부분수열을 가짐”도, 원래 수열의 모든 부분수열에 대해 성립하도록 강화하면 다시 수렴과 동치가 된다.

Proposition. $a_n \to a$ if and only if every subsequence of $(a_n)$ has a further subsequence that converges to $a$.

Proof. ($\Rightarrow$) 자명하다. $a_n\to a$이면 모든 부분수열도 $a$로 수렴하니, 그 부분수열 자신을 “더 나아간 부분수열”로 잡으면 된다. ($\Leftarrow$) 대우를 보이자. $a_n\not\to a$라 하면, 어떤 $\varepsilon>0$이 있어 $\vert a_n-a\vert\ge\varepsilon$인 $n$이 무한히 많다. 이 $n$들만 모아 부분수열 $(a_{n_k})$를 만들면, 이 부분수열의 어떤 부분수열도 $\vert\cdot-a\vert\ge\varepsilon$을 유지하므로 $a$로 수렴할 수 없다. $\blacksquare$

$\limsup$, $\liminf$의 응용

limsup, liminf가 실전에서 어떻게 위력을 발휘하는지 보여주는 대표적인 예가 하나 있다. $a_n = n$이나 $a_n = \sqrt[n]{n!}/n$처럼, $a_n^{1/n}$의 극한을 직접 계산하기는 까다롭지만 $a_{n+1}/a_n$의 극한은 계산하기 쉬운 경우가 많다. 다음 lemma는 후자로부터 전자를 얻어낼 수 있음을 보장한다.

Lemma. Let $(a_n)$ be a sequence of positive real numbers. Then

\[\liminf_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} \;\le\; \liminf_{n\to\infty} a_n^{1/n} \;\le\; \limsup_{n\to\infty} a_n^{1/n} \;\le\; \limsup_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}.\]

특히 $\lim_{n\to\infty} a_{n+1}/a_n = L$이 존재하면 $\lim_{n\to\infty} a_n^{1/n} = L$도 존재하고 같은 값을 갖는다.

Proof. 가운데 부등식은 이미 보인 일반적인 사실이다. 오른쪽 부등식만 보이면 왼쪽은 대칭적인 논증(모든 부등호 방향을 뒤집고 $\sup$/$\inf$를 바꾸면 된다)으로 얻어진다.

$r := \limsup_{n\to\infty} a_{n+1}/a_n$이라 하고, $r=\infty$이면 부등식이 자명하므로 $r<\infty$라 가정하자. 임의의 $\varepsilon>0$에 대해, $\limsup$의 정의상 어떤 $N$이 있어 모든 $n\ge N$에 대해 $a_{n+1}/a_n < r+\varepsilon$이다. 그러면 $n>N$에 대해

\[a_n = a_N \cdot \prod_{k=N}^{n-1} \frac{a_{k+1}}{a_k} < a_N (r+\varepsilon)^{n-N}\]

이고, 양변에 $1/n$ 제곱을 취하면 $a_n^{1/n} < a_N^{1/n} (r+\varepsilon)^{(n-N)/n}$이다. $N$은 고정되어 있으므로 $n\to\infty$일 때 $a_N^{1/n}\to 1$이고 $(n-N)/n \to 1$이니, $\limsup_{n\to\infty} a_n^{1/n} \le r+\varepsilon$. $\varepsilon>0$이 임의였으므로 $\limsup_{n\to\infty} a_n^{1/n} \le r$. $\blacksquare$

이 lemma를 이용하면 몇 가지 극한을 손쉽게 얻는다.

$\lim_{n\to\infty} n^{1/n} = 1$. $a_n = n$으로 두면 $a_{n+1}/a_n = (n+1)/n \to 1$이므로, lemma에 의해 $n^{1/n} \to 1$이다. ($a_n^{1/n}$을 직접 이항정리 등으로 다뤄서 보이는 것보다 훨씬 간결하다.)

$\lim_{n\to\infty} \dfrac{\sqrt[n]{n!}}{n} = \dfrac{1}{e}$. $a_n = n^n/n!$로 두면

\[\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^{n+1}/(n+1)!}{n^n/n!} = \left(\frac{n+1}{n}\right)^n = \left(1+\frac1n\right)^n \to e\]

이므로 (마지막 극한은 $e$의 정의 그 자체다), lemma에 의해 $a_n^{1/n} = n/\sqrt[n]{n!} \to e$, 즉 $\sqrt[n]{n!}/n \to 1/e$이다.

이 lemma는 흔히 미적분학에서 급수의 수렴을 판정할 때 쓰는 ratio test(비율판정법)와 root test(거듭제곱근판정법)가 왜 서로 호환되는지(ratio test가 통하는 급수라면 root test도 항상 같은 결론을 준다는 것)를 설명해준다. 이 이야기는 나중에 멱급수를 다룰 때 다시 등장할 것이다.

Stolz–Cesàro Theorem

Stolz–Cesàro Theorem은 이산적인 상황에서의 L’Hôpital’s Rule이라고 봐도 된다. 이 정리는 Stolz가 1885년 저서에서, Cesàro가 1888년 논문에서 각각 다뤘다 [4, 5].

Theorem (Stolz–Cesàro). Let $(b_n)$ be strictly increasing with $b_n \to \infty$. If

\[\lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n} = L \in \overline{\mathbb{R}}\]

exists, then $\lim_{n\to\infty} a_n/b_n$ also exists and equals $L$.

Proof. $L$이 유한하다고 하자 (무한대인 경우도 같은 논증이 통한다). $\varepsilon>0$이 주어지면, 어떤 $N$이 있어 $n\ge N$이면 $(L-\varepsilon)(b_{n+1}-b_n) < a_{n+1}-a_n < (L+\varepsilon)(b_{n+1}-b_n)$이다 ($b_n$이 strictly increasing이므로 $b_{n+1}-b_n>0$이라 부등호 방향이 유지된다). $n>N$에 대해 $k=N,\dots,n-1$로 telescoping하면

\[(L-\varepsilon)(b_n-b_N) < a_n - a_N < (L+\varepsilon)(b_n-b_N).\]

충분히 큰 $n$에 대해 (그때는 $b_n>0$) 양변을 $b_n$으로 나누면

\[(L-\varepsilon)\Big(1-\frac{b_N}{b_n}\Big) + \frac{a_N}{b_n} < \frac{a_n}{b_n} < (L+\varepsilon)\Big(1-\frac{b_N}{b_n}\Big) + \frac{a_N}{b_n}.\]

$N$은 고정되어 있고 $b_n\to\infty$이므로, $n\to\infty$일 때 $b_N/b_n\to 0$이고 $a_N/b_n\to 0$이다. 따라서 $\limsup_n a_n/b_n \le L+\varepsilon$이고 $\liminf_n a_n/b_n \ge L-\varepsilon$. $\varepsilon>0$이 임의였으므로 $\lim_n a_n/b_n = L$. $\blacksquare$

이를 사용하면 다음과 같은 어려운 극한을 구할 수 있다.

Corollary (약한 형태의 Stirling 공식). $\dfrac{\ln(n!)}{n\ln n} \to 1$.

Proof. $a_n:=\ln(n!)=\displaystyle\sum_{k=1}^n\ln k$, $b_n:=n\ln n$으로 두면 둘 다 $\infty$로 발산하고 $b_n$은 strictly increasing이다. $a_{n+1}-a_n=\ln(n+1)$이고, $(n+1)\ln(n+1)$에서 $\ln(n+1)=\ln n+\ln(1+1/n)$을 대입해 전개하면

\[b_{n+1}-b_n = (n+1)\ln(n+1)-n\ln n = \ln n + (n+1)\ln(1+1/n)\]

을 얻는다. $\ln(1+x)/x\to1$ ($x\to0$)에 $x=1/n$을 대입하면 $n\ln(1+1/n)\to1$이므로 $(n+1)\ln(1+1/n) = n\ln(1+1/n)+\ln(1+1/n) \to 1+0=1$이고, $b_{n+1}-b_n$은 $\ln n$에 유계인 항 하나를 더한 꼴이다. $a_{n+1}-a_n=\ln(n+1)$도 마찬가지로 $\ln n$에 $0$으로 수렴하는 항을 더한 꼴이므로, 분자·분모를 $\ln n$으로 나누면

\[\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n} = \frac{\ln(n+1)/\ln n}{1+(n+1)\ln(1+1/n)/\ln n} \to \frac{1}{1+0} = 1\]

이다. Stolz–Cesàro($\infty/\infty$ 버전)에 의해 $\ln(n!)/(n\ln n) \to 1$. $\blacksquare$

즉 $n!$의 로그는 $n\ln n$과 같은 속도로 자란다. Stirling의 공식 $n!\sim\sqrt{2\pi n}\,(n/e)^n$에서 지수 부분만 남긴 가장 거친(leading-order) 형태다.

Stolz–Cesàro Theorem의 다음과 같은 0/0 버전도 생각해볼 수 있다.

Theorem. Let $(a_n)$ and $(b_n)$ be sequences with $a_n\to0$ and $b_n\to0$, where $(b_n)$ is strictly decreasing. If

\[\lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n} = L \in \overline{\mathbb{R}}\]

exists, then $\lim_{n\to\infty} a_n/b_n$ also exists and equals $L$.

가정이 $\infty/\infty$ 버전과 정반대($b_n\to\infty$ 대신 $b_n\to0$)라는 점을 빼면 진술은 똑같아 보이지만, 증명은 단순히 뒤집어서 되는 게 아니다. $b_n$이 이제 감소하므로 $b_{n+1}-b_n<0$이고, 부등식을 정리할 때 부등호 방향이 뒤집힌다:

\[(L+\varepsilon)(b_{n+1}-b_n) < a_{n+1}-a_n < (L-\varepsilon)(b_{n+1}-b_n)\]

이걸 telescoping하면 $(L+\varepsilon)(b_n-b_N) < a_n-a_N < (L-\varepsilon)(b_n-b_N)$을 얻는다. 여기서 $\infty/\infty$ 버전과 결정적으로 다른 지점이 나온다. 그쪽에서는 $b_n\to\infty$이므로 양변을 $b_n$으로 나누고 $n\to\infty$를 보내 $b_N/b_n\to0$을 활용했는데, 여기서는 그 대신 $N$을 고정한 채 $n\to\infty$로 보낸다 ($a_n\to0$, $b_n\to0$이므로): 부등식이 $(L+\varepsilon)(-b_N) \le -a_N \le (L-\varepsilon)(-b_N)$, 즉 $(L-\varepsilon)b_N \le a_N \le (L+\varepsilon)b_N$으로 정리되고, $b_N>0$으로 나누면 $\vert a_N/b_N-L\vert\le\varepsilon$을 얻는다. 이는 임의로 크게 잡을 수 있는 모든 $N$에 대해 성립하므로 $a_N/b_N\to L$이다.

즉 $\infty/\infty$ 쪽은 “$n\to\infty$, 그다음 $N\to\infty$”라는 이중 극한 구조인 반면, $0/0$ 쪽은 “고정된 $N$에 대해 다른 변수를 $\infty$로 보내는” 다른 구조의 증명이다. 그래서 두 버전은 단순히 서로 뒤집어서 되는 관계가 아니다. $\infty/\infty$ 버전이 부분합(더할수록 커져서 $\infty$로 발산하는 방향)에 자연스럽게 대응된다면, $0/0$ 버전은 그 거울상, 즉 나머지항(뒤로 갈수록 작아져서 $0$으로 수렴하는 방향)에 대응된다.

Fekete’s Subadditive Lemma

마지막으로 소개할 결과는 앞의 둘과는 결이 조금 다르다. 수열 \((a_n)_{n\ge1}\)이 subadditive라는 것은 모든 $n,m\ge1$에 대해 $a_{n+m} \le a_n+a_m$이 성립한다는 뜻이다.

Theorem (Fekete’s Subadditive Lemma, 1923 [6]). If \((a_n)_{n\ge1}\) is subadditive, then $\lim_{n\to\infty} \dfrac{a_n}{n}$ exists in $[-\infty,\infty)$ and equals $\inf_{n\ge1} \dfrac{a_n}{n}$.

Proof. $L := \inf_{n\ge1} a_n/n \in [-\infty,\infty)$라 하자. inf의 정의상 모든 $n$에 대해 $a_n/n \ge L$이므로 $\liminf_n a_n/n \ge L$은 자명하다.

반대 방향을 보이자. $a_0:=0$으로 약속하면 subadditivity는 $m=0$일 때도 성립한다. 임의의 $m\ge1$을 고정하고, 각 $n$을 $n=qm+r$ ($q,r$은 $n$에 따라 정해지는, $0$부터 $m-1$ 사이의 정수)로 나누면, subadditivity를 $q$번 반복 적용해 $a_n = a_{qm+r} \le q\,a_m + a_r$을 얻는다. 양변을 $n$으로 나누면

\[\frac{a_n}{n} \le \frac{q}{n}\,a_m + \frac{a_r}{n}.\]

$m$을 고정한 채 $n\to\infty$이면 $q/n \to 1/m$이고, $r$은 $0$부터 $m-1$ 사이의 유한한 값만 가지므로 $a_r/n \to 0$이다. 따라서 $\limsup_n a_n/n \le a_m/m$. 이것이 임의의 $m$에 대해 성립하므로 $\limsup_n a_n/n \le \inf_m a_m/m = L$.

$L \le \liminf_n a_n/n \le \limsup_n a_n/n \le L$이므로 모두 같고, $\lim_n a_n/n = L$이다. $\blacksquare$

Subadditivity라는 순전히 대수적인 조건 하나만으로 극한의 존재성이 보장된다는 게 이 lemma의 매력이다.

이 lemma의 가장 인상적인 응용 중 하나는 self-avoiding walk(자기회피보행)의 connective constant다. 격자 $\mathbb{Z}^d$ 위에서 원점을 출발해 $n$걸음 동안 같은 자리를 두 번 지나지 않는 경로의 개수를 $c_n$이라 하자. $n$걸음짜리 경로 하나와, 그 끝점에서 새로 시작하는 $m$걸음짜리 경로 하나를 이어붙이면 $n+m$걸음짜리 경로의 후보가 되는데, 이 중 실제로 자기회피인 것만 남기면 되므로 $c_{n+m} \le c_n\, c_m$이다. 즉 $\log c_n$은 subadditive이고, Fekete’s Lemma에 의해

\[\mu := \lim_{n\to\infty} c_n^{1/n} = \inf_{n\ge1} c_n^{1/n}\]

이 항상 존재한다 (이 $\mu$를 connective constant라 부른다). 그런데 이 극한의 존재는 이렇게 손쉽게 보장되는 반면, 정작 그 값은 대부분의 격자에서 여전히 정확히 알려져 있지 않다. 흔히 다루는 $\mathbb{Z}^2$(사각격자)도 마찬가지다. 예외적으로 육각격자(hexagonal lattice)에 대해서는 Duminil-Copin과 Smirnov가 2012년에 $\mu=\sqrt{2+\sqrt2}$임을 증명해, Nienhuis가 물리학적 논증(Coulomb gas 방법)으로 예측했던 값을 엄밀하게 확인했다 [7].

참고문헌

  1. Grabiner, J. V. (1983). Who Gave You the Epsilon? Cauchy and the Origins of Rigorous Calculus. The American Mathematical Monthly, 90(3), 185–194.
  2. Cauchy, A.-L. (1821). Cours d’analyse de l’École royale polytechnique; I.re Partie. Analyse algébrique. Paris: Imprimerie Royale.
  3. Rudin, W. (1976). Principles of Mathematical Analysis (3rd ed.). McGraw-Hill.
  4. Stolz, O. (1885). Vorlesungen über allgemeine Arithmetik: nach den neueren Ansichten. Teubner, Leipzig. pp. 173–175.
  5. Cesàro, E. (1888). Sur la convergence des séries. Nouvelles annales de mathématiques, Series 3, 7, 49–59.
  6. Fekete, M. (1923). Über die Verteilung der Wurzeln bei gewissen algebraischen Gleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten. Mathematische Zeitschrift, 17, 228–249.
  7. Duminil-Copin, H., & Smirnov, S. (2012). The Connective Constant of the Honeycomb Lattice Equals $\sqrt{2+\sqrt2}$. Annals of Mathematics, 175(3), 1653–1665.