미분법은 17세기 후반 Isaac Newton과 Gottfried Wilhelm Leibniz가 서로 독립적으로 세웠다. Newton은 물체의 운동에서 출발해 시간에 대한 순간변화율을 유율(fluxion)이라 부르며 다뤘고 [1], Leibniz는 오늘날 우리가 그대로 쓰는 $dy/dx$와 적분기호 $\int$을 도입해 접선 문제를 하나의 형식적 계산법으로 다듬었다 [2]. 두 사람 사이의 우선권 논쟁은 수학사에서 가장 격렬한 분쟁으로 남았지만, 정작 미분을 극한으로 엄밀하게 정의한 것은 한참 뒤 Cauchy와 Weierstrass에 이르러서였다. 이 글은 그 엄밀한 정의에서 출발한다.

도함수

Definition (Derivative). Let $f$ be defined on an open interval containing $a$. $f$ is differentiable at $a$, with derivative

\[f'(a) := \lim_{h\to0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h},\]

if this limit exists.

Proposition. If $f$ is differentiable at $a$, then $f$ is continuous at $a$.

Proof. $f(a+h)-f(a) = h\cdot\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$인데, $h\to0$일 때 극한의 사칙연산에 의해 우변은 $0\cdot f’(a)=0$으로 수렴하므로 $f(a+h)\to f(a)$, 즉 $f$는 $a$에서 연속이다. $\blacksquare$

역은 성립하지 않는다.

Example. $f(x):=x\sin(1/x)$ ($x\ne0$), $f(0):=0$이라 하자. $\vert f(x)\vert\le\vert x\vert\to0$이므로 (Squeeze) $f$는 $0$에서 연속이다. 하지만

\[\frac{f(h)-f(0)}{h} = \sin(1/h)\]

는 $h\to0$일 때 극한이 없으므로, $f$는 $0$에서 미분 불가능하다.

Proposition (미분의 사칙연산). If $f,g$ are differentiable at $a$, then $f+g$ and $fg$ are differentiable at $a$, with $(f+g)’(a)=f’(a)+g’(a)$ and $(fg)’(a) = f’(a)g(a)+f(a)g’(a)$.

Proof. 합은 극한의 사칙연산에서 바로 나온다. 곱은

\[\frac{f(a+h)g(a+h)-f(a)g(a)}{h} = \frac{f(a+h)-f(a)}{h}\,g(a+h) + f(a)\,\frac{g(a+h)-g(a)}{h}\]

로 쪼갠 뒤(분자에 $-f(a)g(a+h)+f(a)g(a+h)$를 더하고 빼서 얻는다), $h\to0$이면 $g$가 $a$에서 연속이므로 $g(a+h)\to g(a)$이고, 나머지는 정의에 의해 $f’(a)$, $g’(a)$로 수렴하므로 극한의 사칙연산에 의해 전체는 $f’(a)g(a)+f(a)g’(a)$로 수렴한다. $\blacksquare$

Theorem (Chain Rule). If $f$ is differentiable at $a$ and $g$ is differentiable at $f(a)$, then $g\circ f$ is differentiable at $a$, with $(g\circ f)’(a) = g’(f(a))\cdot f’(a)$.

Proof. $y_0:=f(a)$라 하고, $g$의 정의역 위에서

\[\varphi(y) := \begin{cases} \dfrac{g(y)-g(y_0)}{y-y_0} & y\ne y_0 \\[4pt] g'(y_0) & y=y_0 \end{cases}\]

로 정의하자. $g$가 $y_0$에서 미분가능하므로 $\lim_{y\to y_0}\varphi(y)=g’(y_0)=\varphi(y_0)$, 즉 $\varphi$는 $y_0$에서 연속이다. 정의에서 바로, $y=y_0$인 경우까지 포함해 모든 $y$에 대해

\[g(y)-g(y_0) = \varphi(y)(y-y_0)\]

이 성립한다. $y=f(x)$를 대입하면 $g(f(x))-g(f(a)) = \varphi(f(x))\,(f(x)-f(a))$이고, $x\ne a$에서 양변을 $x-a$로 나누면

\[\frac{g(f(x))-g(f(a))}{x-a} = \varphi(f(x))\cdot\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\]

이다. $x\to a$일 때 $f$가 $a$에서 연속이므로 $f(x)\to f(a)=y_0$이고, $\varphi$가 $y_0$에서 연속이므로 지난 글의 연속함수의 합성에 의해 $\varphi(f(x))\to\varphi(y_0)=g’(y_0)$이다. 또한 $\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\to f’(a)$이므로, 극한의 사칙연산에 의해 우변 전체는 $g’(f(a))\cdot f’(a)$로 수렴한다. $\blacksquare$

극값

Definition (Local Maximum, Local Minimum). $f$ has a local maximum at $c$ if there exists $\delta>0$ such that $f(x)\le f(c)$ for every $x$ in the domain of $f$ with $\vert x-c\vert<\delta$. Local minimum is defined symmetrically (with $f(x)\ge f(c)$). A local extremum is a local maximum or a local minimum.

Theorem (Fermat). If $f$ has a local extremum at an interior point $c$ of its domain, and $f$ is differentiable at $c$, then $f’(c)=0$.

Proof. $f$가 $c$에서 local maximum을 가지는 경우만 보면 충분하다 (minimum이면 $-f$에 적용). $c$가 내부점이므로, 충분히 작은 $\delta>0$에 대해 $(c-\delta,c+\delta)$가 정의역에 포함되고 이 구간에서 $f(x)\le f(c)$이다. $0<h<\delta$이면 $\dfrac{f(c+h)-f(c)}{h}\le0$ (분자 $\le0$, 분모 $>0$)이므로, $h\to0^+$로 보내면 $f’(c)\le0$이다. $-\delta<h<0$이면 $\dfrac{f(c+h)-f(c)}{h}\ge0$ (분자 $\le0$, 분모 $<0$)이므로, $h\to0^-$로 보내면 $f’(c)\ge0$이다. $f’(c)$가 (양쪽 극한이 일치하는) 하나의 값으로 존재하므로 $f’(c)=0$이다. $\blacksquare$

Fermat가 이 정리를 증명할 당시에 미분이나 극한의 개념은 없었으나, 아이디어는 비슷하다 [3].

Rolle’s Theorem

Theorem (Rolle). Let $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ be continuous on $[a,b]$ and differentiable on $(a,b)$, with $f(a)=f(b)$. Then there exists $c\in(a,b)$ such that $f’(c)=0$.

Proof. Extreme Value Theorem에 의해 $f$는 $[a,b]$에서 최댓값과 최솟값을 가진다. 만약 이 최댓값과 최솟값이 (같은 값이든 다른 값이든) 둘 다 끝점 \(\{a,b\}\)에서만 달성된다면, $f(a)=f(b)$이므로 사실 최댓값과 최솟값이 서로 같은 값이 되어 $f$는 $[a,b]$에서 상수함수이고, 이 경우 임의의 $c\in(a,b)$에서 $f’(c)=0$이다. 그렇지 않다면 최댓값이나 최솟값 중 하나가 어떤 내부점 $c\in(a,b)$에서 달성되는데, 이는 $f$가 $c$에서 (내부점에서의) local extremum을 가진다는 뜻이므로, Fermat’s Theorem에 의해 $f’(c)=0$이다. $\blacksquare$

이 정리는 Michel Rolle이 미분과 무관하게 다항방정식에 대해서만 순수하게 대수적으로 증명했으나 [4], 후대에 일반적인 미분가능 함수로 확장되었다.

Mean Value Theorem

Theorem (Mean Value Theorem). Let $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ be continuous on $[a,b]$ and differentiable on $(a,b)$. Then there exists $c\in(a,b)$ such that

\[f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}.\]

Proof. $g(x):=f(x)-f(a)-\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$라 하자. $g$는 연속함수·미분가능함수의 조합이므로 $[a,b]$에서 연속이고 $(a,b)$에서 미분가능하다. $g(a)=0$이고 $g(b)=f(b)-f(a)-(f(b)-f(a))=0$이므로 $g(a)=g(b)$이다. Rolle’s Theorem에 의해 $g’(c)=0$인 $c\in(a,b)$가 존재하는데, $g’(x)=f’(x)-\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$이므로 $f’(c)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$이다. $\blacksquare$

기하학적으로는, 두 끝점을 잇는 할선(secant line)과 평행한 접선이 그래프 위 어딘가에 있다는 뜻이다. Rolle’s Theorem은 정확히 그 할선의 기울기가 $0$인 특수한 경우다.

Mean Value Theorem은 일반적인 형태로는 Lagrange가 처음 다뤘고 [5] 오늘날처럼 엄밀한 증명은 Cauchy가 제시했다 [6].

Corollary. If $f’(x)=0$ for every $x$ in an interval $I$, then $f$ is constant on $I$.

Proof. $x<y$인 임의의 $x,y\in I$에 대해 $[x,y]$에 Mean Value Theorem을 적용하면 $f(y)-f(x)=f’(c)(y-x)=0$인 $c$가 존재하므로 $f(x)=f(y)$이다. $\blacksquare$

Corollary. If $f’(x)>0$ (respectively $f’(x)<0$) for every $x$ in an interval $I$, then $f$ is strictly increasing (respectively strictly decreasing) on $I$.

Proof. $x<y\in I$에 대해 Mean Value Theorem으로 $f(y)-f(x)=f’(c)(y-x)$인 $c\in(x,y)$를 얻는데, $f’(c)>0$이고 $y-x>0$이므로 $f(y)-f(x)>0$이다. 감소하는 경우도 대칭적이다. $\blacksquare$

역함수의 미분

방금 Corollary는 도함수의 부호가 함수의 단조성을, 따라서 역함수의 존재를 좌우함을 보여준다. 이 역함수 역시 미분가능하며, 그 도함수가 원래 함수의 도함수로 결정된다.

Theorem (역함수의 미분). Let $f$ be continuous and strictly monotone on an interval $I$. Then $J:=f(I)$ is an interval and $f^{-1}:J\to I$ is continuous and strictly monotone. If moreover $f$ is differentiable at $x_0\in I$ with $f’(x_0)\ne0$, then $f^{-1}$ is differentiable at $y_0:=f(x_0)$ with \((f^{-1})'(y_0) = \frac{1}{f'(x_0)} = \frac{1}{f'\big(f^{-1}(y_0)\big)}.\)

Proof. $f$가 순단조이므로 단사이고, Intermediate Value Theorem에 의해 연속함수 $f$의 상 $J=f(I)$은 구간이다. 역함수 $f^{-1}$은 순단조이며, 그 상 $I$가 구간이므로 연속이다. 단조함수는 도약(jump) 불연속만 가질 수 있는데, $f^{-1}$에 도약이 있다면 그 상 $I$에 구멍이 생겨 $I$가 구간이라는 데 모순이기 때문이다.

이제 미분가능성을 보자. $y_0=f(x_0)$이라 하고, $y\ne y_0$에 대해 $x:=f^{-1}(y)$라 하면 $f$가 단사이므로 $x\ne x_0$이다. $f^{-1}$이 연속이므로 $y\to y_0$일 때 $x\to x_0$이고, 그때

\[\frac{f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0)}{y-y_0} = \frac{x-x_0}{f(x)-f(x_0)} = \frac{1}{\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}} \longrightarrow \frac{1}{f'(x_0)}\]

이다. 여기서 $f’(x_0)\ne0$이라 분모의 극한이 $0$이 아님을 썼다. $\blacksquare$

이 정리가 초등함수의 도함수를 낳는다. 예컨대 $\exp$의 역함수 $\log$는 $(\log)’(y)=1/\exp(x)=1/y$이고, $\sin$을 $[-\tfrac\pi2,\tfrac\pi2]$로 제한한 것의 역함수 $\arcsin$은 $(\arcsin)’(y)=1/\cos x=1/\sqrt{1-y^2}$이며, 같은 방식으로 $(\arctan)’(y)=1/(1+y^2)$을 얻는다.

도함수 판정법

앞서 본 Fermat’s Theorem은 극값의 필요조건이다. 즉, $f’(c)=0$이라고 해서 $c$가 실제로 극값인 것은 아니다. $f(x)=x^3$은 $f’(0)=0$이지만 0에서 극값을 가지지 않는다. 실제로 극값인지 판정하기 위해서 도함수를 좀 더 폭넓게 사용하면 된다.

Proposition (제1차 도함수 판정법, First Derivative Test). Suppose $f$ is differentiable on \((c-\delta,c+\delta)\setminus\{c\}\) and continuous at $c$. If $f’(x)>0$ for $x\in(c-\delta,c)$ and $f’(x)<0$ for $x\in(c,c+\delta)$, then $f$ has a local maximum at $c$. (Symmetrically, $f’<0$ then $f’>0$ gives a local minimum.)

Proof. 앞의 Corollary에 의해 $f$는 $(c-\delta,c]$에서 증가하고 $[c,c+\delta)$에서 감소하므로, 이 구간 전체에서 $f(x)\le f(c)$이다. $\blacksquare$

Proposition (제2차 도함수 판정법, Second Derivative Test). Suppose $f’(c)=0$ and $f’‘(c)$ exists. If $f’‘(c)>0$, then $f$ has a local minimum at $c$; if $f’‘(c)<0$, a local maximum.

Proof. $f’‘(c)>0$인 경우만 보이면 충분하다 (부호가 반대면 $-f$에 적용). $f’‘(c) = \lim_{h\to0}\dfrac{f’(c+h)-f’(c)}{h} = \lim_{h\to0}\dfrac{f’(c+h)}{h}$ ($f’(c)=0$이므로)인데, 이 극한이 $f’‘(c)>0$이므로, $\varepsilon:=f’‘(c)/2>0$에 대해 어떤 $\eta>0$이 있어 $0<\vert h\vert<\eta$이면 $\dfrac{f’(c+h)}{h} > f’‘(c)-\varepsilon = \varepsilon$이다. $0<h<\eta$이면 이로부터 $f’(c+h) > \varepsilon h>0$이고, $-\eta<h<0$이면 (부등식의 양변에 음수 $h$를 곱하며 부등호가 뒤집혀) $f’(c+h) < \varepsilon h<0$이다. 즉 $f’$은 $c$ 바로 왼쪽에서 음수, 바로 오른쪽에서 양수이므로, 제1차 도함수 판정법에 의해 $f$는 $c$에서 local minimum을 가진다. $\blacksquare$

이 증명이 $f’‘$가 $c$ 근방에서 연속이라고 가정하지 않고 $f’‘(c)$의 존재만으로 끝난다는 점을 눈여겨볼 만하다. $f’‘$가 $c$에서만 저 값을 가지고 다른 곳에서는 어떻게 행동하는지 전혀 몰라도 판정법이 성립한다.

Cauchy’s Mean Value Theorem

Mean Value Theorem을 두 함수의 비율로 일반화하면 다음을 얻는다.

Theorem (Cauchy’s Mean Value Theorem). Let $f,g:[a,b]\to\mathbb{R}$ be continuous on $[a,b]$ and differentiable on $(a,b)$, with $g’(x)\ne0$ for every $x\in(a,b)$. Then $g(a)\ne g(b)$, and there exists $c\in(a,b)$ such that

\[\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \frac{f'(c)}{g'(c)}.\]

Proof. $g(a)=g(b)$라면 Rolle’s Theorem에 의해 $g’(x)=0$인 $x\in(a,b)$가 존재해 가정에 모순이므로 $g(a)\ne g(b)$이다. $h(x):=(f(x)-f(a))(g(b)-g(a)) - (g(x)-g(a))(f(b)-f(a))$라 하면 $h(a)=0$이고 $h(b)=(f(b)-f(a))(g(b)-g(a))-(g(b)-g(a))(f(b)-f(a))=0$이므로 $h(a)=h(b)$이다. Rolle’s Theorem에 의해 $h’(c)=0$인 $c\in(a,b)$가 존재하는데, $h’(x)=f’(x)(g(b)-g(a))-g’(x)(f(b)-f(a))$이므로 $f’(c)(g(b)-g(a))=g’(c)(f(b)-f(a))$이다. $g’(c)\ne0$이고 $g(b)\ne g(a)$이므로 양변을 $g’(c)(g(b)-g(a))$로 나누면 원하는 식을 얻는다. $\blacksquare$

$g(x)=x$로 두면 $g’(x)=1\ne0$, $g(b)-g(a)=b-a$가 되어 곧바로 (일반) Mean Value Theorem이 나오므로, 이 정리는 정확히 그 일반화다.

이 정리는 실제로 Cauchy가 Mean Value Theorem의 엄밀한 증명을 실었던 저서에 함께 실려 있다 [6].

Darboux’s Theorem

도함수는 연속이라는 보장이 없다. 그런데도 도함수는 연속함수처럼 중간값 성질(intermediate value property)을 가진다.

Theorem (Darboux). Let $f$ be differentiable on $[a,b]$. Then for any $\lambda$ strictly between $f’(a)$ and $f’(b)$, there exists $c\in(a,b)$ with $f’(c)=\lambda$.

Proof. $f’(a)<\lambda<f’(b)$인 경우만 보이면 충분하다 (반대 경우는 $-f$에 적용). $g(x):=f(x)-\lambda x$라 하면 $g$는 $[a,b]$에서 미분가능하여 연속이고 $g’(x)=f’(x)-\lambda$이다. Extreme Value Theorem에 의해 $g$는 $[a,b]$에서 최솟값을 가진다. $g’(a)=f’(a)-\lambda<0$이므로 충분히 작은 $h>0$에서 $g(a+h)<g(a)$이라 최솟값은 $a$에서 달성되지 않고, $g’(b)=f’(b)-\lambda>0$이므로 충분히 작은 $h>0$에서 $g(b-h)<g(b)$이라 $b$에서도 아니다. 따라서 최솟값은 내부점 $c\in(a,b)$에서 달성되고, Fermat’s Theorem에 의해 $g’(c)=0$, 즉 $f’(c)=\lambda$이다. $\blacksquare$

$f’$이 연속일 필요가 전혀 없다는 점이 핵심이다. 예컨대 $f(x)=x^2\sin(1/x)$ ($x\ne0$), $f(0)=0$의 도함수는 $x=0$에서 불연속이지만($x\ne0$에서 $f’(x)=2x\sin(1/x)-\cos(1/x)$이고 $f’(0)=0$인데 $\cos(1/x)$이 진동한다), Darboux’s Theorem에 따라 여전히 중간값을 빠짐없이 취한다. 이 성질은 곧 아래 L’Hôpital’s Rule의 증명에서, 영이 아닌 도함수가 부호를 바꾸지 못한다는 사실로 쓰인다.

L’Hôpital’s Rule

Theorem (L’Hôpital’s Rule). Let $-\infty\le a<b\le+\infty$, and let $f,g$ be differentiable on $(a,b)$ with $g’(x)\ne0$ for every $x\in(a,b)$. Suppose $\lim_{x\to a^+}\dfrac{f’(x)}{g’(x)}=A$ exists, where $A\in\overline{\mathbb{R}}$. If either (i) $\displaystyle\lim_{x\to a^+}f(x)=\lim_{x\to a^+}g(x)=0$, or (ii) $\displaystyle\lim_{x\to a^+}g(x)=+\infty$, then $\displaystyle\lim_{x\to a^+}\frac{f(x)}{g(x)}=A$.

Proof. $a$가 유한하고 $A$도 유한한 경우만 보이자 ($a=-\infty$인 경우는 $x\mapsto1/x$ 치환으로 이 경우로 환원되고, $A=\pm\infty$인 경우는 아래 논증에서 부등식 $A-\varepsilon<\cdots<A+\varepsilon$을 $M<\cdots$ 또는 $\cdots<M$ 꼴의 한쪽 부등식만으로 바꿔 같은 방식으로 처리되므로, 본질적인 어려움은 이 경우에 있다).

먼저 $g$가 $(a,b)$에서 단사(injective)임을 보이자. 그렇지 않다면 $g(x_1)=g(x_2)$인 $x_1<x_2\in(a,b)$가 있을 것인데, Rolle’s Theorem에 의해 그 사이 어딘가에서 $g’=0$이 되어 가정에 모순이다.

$\varepsilon>0$이 주어지면, 가정에 의해 어떤 $c\in(a,b)$가 있어 $a<x<c$이면 $A-\varepsilon<\dfrac{f’(x)}{g’(x)}<A+\varepsilon$이다. $g$가 단사이므로 $a<x<y<c$에 대해 $g(x)\ne g(y)$이고, Cauchy’s Mean Value Theorem을 $[x,y]$에 적용하면

\[A-\varepsilon < \frac{f(x)-f(y)}{g(x)-g(y)} < A+\varepsilon \tag{$*$}\]

이 성립한다.

(i)의 경우. $y\in(a,c)$를 하나 고정하자 ($g(y)=0$이면 $g$가 단사이므로 그런 $y$는 많아야 하나뿐이니, 그 점만 피해서 고정한다). $(*)$에서 $x\to a^+$로 보내면 $f(x)\to0$, $g(x)\to0$이므로

\[A-\varepsilon \le \frac{f(y)}{g(y)} \le A+\varepsilon.\]

이것이 (그 예외적인 점을 제외한) 모든 $y\in(a,c)$에서 성립하고, $\varepsilon$이 임의였으므로 $\displaystyle\lim_{y\to a^+}\frac{f(y)}{g(y)}=A$이다.

(ii)의 경우. $g’\ne0$이므로 방금 본 Darboux’s Theorem에 의해 (도함수가 부호를 바꾸려면 중간값 $0$을 지나야 하는데 그럴 수 없으므로) $g’$은 $(a,b)$에서 부호가 일정한데, $x\to a^+$일 때(즉 $x$가 $a$에 가까워질수록) $g(x)\to+\infty$이려면 그 부호가 음이어야 하므로 $g$는 $(a,b)$에서 (엄밀히) 감소한다. $c_1\in(a,c)$를 ($g(c_1)>0$이 되도록, $g\to+\infty$이니 가능하다) 하나 고정하면, $g$가 감소하므로 $a<x<c_1$인 모든 $x$에서 $g(x)>g(c_1)>0$이다. $(*)$에서 $y:=c_1$로 두면

\[A-\varepsilon < \frac{f(x)-f(c_1)}{g(x)-g(c_1)} < A+\varepsilon\]

인데, $g(x)-g(c_1)>0$이므로 부등식의 양변에 곱해도 방향이 유지되어

\[(A-\varepsilon)\big(g(x)-g(c_1)\big) < f(x)-f(c_1) < (A+\varepsilon)\big(g(x)-g(c_1)\big)\]

이고, 양변을 $g(x)>0$으로 나누면

\[(A-\varepsilon)\left(1-\frac{g(c_1)}{g(x)}\right)+\frac{f(c_1)}{g(x)} < \frac{f(x)}{g(x)} < (A+\varepsilon)\left(1-\frac{g(c_1)}{g(x)}\right)+\frac{f(c_1)}{g(x)}\]

를 얻는다. $x\to a^+$이면 $g(x)\to+\infty$이므로 $\dfrac{g(c_1)}{g(x)}\to0$, $\dfrac{f(c_1)}{g(x)}\to0$ ($f(c_1),g(c_1)$은 고정된 값)이 되어, 좌변은 $A-\varepsilon$으로, 우변은 $A+\varepsilon$으로 수렴한다. 따라서 어떤 $c_2\in(a,c_1)$이 있어 $a<x<c_2$이면 좌변은 $A-2\varepsilon$보다 크고 우변은 $A+2\varepsilon$보다 작으므로, $\left\vert\dfrac{f(x)}{g(x)}-A\right\vert<2\varepsilon$이다. $\varepsilon$이 임의였으므로 $\displaystyle\lim_{x\to a^+}\frac{f(x)}{g(x)}=A$이다. $\blacksquare$

$a$가 유한한 실수이고 (i)의 조건($f,g\to0$)으로 국한하면, 이것이 바로 전통적으로 알려진 $0/0$ 꼴의 L’Hôpital’s Rule이다. $x\to b^-$인 경우나 $g(x)\to-\infty$인 경우도 (부등식의 방향이나 치환을 적절히 바꾸면) 대칭적으로 성립한다. Rudin의 책에서도 정확히 이 경우들을 “analogous”라는 말로 남겨둔다.

L’Hôpital’s Rule은 사실 Johann Bernoulli에 의해 발견되었다. 이 정리가 l’Hôpital’s Rule로 알려진 이유는 l’Hôpital이 1694년 Bernoulli와 계약을 맺어, Bernoulli의 수학적 발견들을 독점적으로 넘겨받아 자신의 이름으로 출판할 권리를 얻었기 때문이라고 추측이 되었다 [7]. 그러다가 Paul Schafheitlin이 1924년 Johann Bernoulli의 조카 Nicolaus (I) Bernoulli가 1705년경 그 강의 내용을 옮겨 적은 사본을 공개했고, 그 내용이 l’Hôpital의 책과 거의 그대로 일치해 추측이 뒷받침됐다 [8].

참고문헌

  1. Newton, I. (written 1671, published 1736). The Method of Fluxions and Infinite Series (De methodis serierum et fluxionum). London: Henry Woodfall.
  2. Leibniz, G. W. (1684). Nova methodus pro maximis et minimis. Acta Eruditorum, 467–473.
  3. Fermat, P. de (written c. 1636, published 1679). Methodus ad disquirendam maximam et minimam. In Varia Opera Mathematica. Toulouse.
  4. Rolle, M. (1691). Démonstration d’une méthode pour résoudre les égalitéz de tous les degréz. Paris.
  5. Lagrange, J.-L. (1797). Théorie des fonctions analytiques. Paris.
  6. Cauchy, A.-L. (1823). Résumé des leçons données à l’École royale polytechnique sur le calcul infinitésimal. Paris.
  7. Truesdell, C. (1958). The New Bernoulli Edition. Isis, 49(1), 54–62.
  8. Schafheitlin, P. (Ed. & Trans.) (1924). Die Differentialrechnung von Johann Bernoulli aus dem Jahre 1691/92. Ostwalds Klassiker der exakten Wissenschaften, Nr. 211. Leipzig: Akademische Verlagsgesellschaft.