함수의 수열 $f_n$을 생각해보자. 각 $f_n$이 연속이거나 미분가능하거나 적분가능할 때, 그 극한 $f$도 그 성질을 물려받는가? 답은 “수렴을 어떻게 정의하느냐”에 달려 있다.

Pointwise convergence

Definition (Pointwise Convergence). Let $f_n,f:E\to\mathbb{R}$. The sequence \((f_n)_{n=1}^\infty\) converges pointwise to $f$ on $E$ if $\lim_{n\to\infty}f_n(x)=f(x)$ for every $x\in E$.

즉 각 점 $x$를 고정할 때마다 실수열 \((f_n(x))_{n=1}^\infty\)이 $f(x)$로 수렴한다는 뜻이다. 이것이 극한 함수를 정의하는 가장 소박한 방법이지만, 아래 예처럼 함수의 좋은 성질을 전혀 보존하지 못한다.

Example (연속성이 깨진다). $f_n(x):=x^n$ on $[0,1]$이라 하자. $0\le x<1$이면 $x^n\to0$이고 $x=1$이면 $x^n\to1$이므로, pointwise limit은

\[f(x)=\begin{cases}0 & 0\le x<1 \\ 1 & x=1\end{cases}\]

이다. 각 $f_n$은 연속이지만 극한 $f$는 $x=1$에서 불연속이다.

Example (적분과 극한이 안 바뀐다). 각 $n$에 대해 $[0,1]$ 위에서 $g_n$을 밑변 $[0,1/n]$, 높이 $2n$, 꼭짓점 $x=1/(2n)$인 이등변삼각형 모양의 연속함수로 두고 그 밖에서는 $0$이라 하자. 임의의 고정된 $x>0$에서는 $n$이 커지면 삼각형이 $x$의 왼쪽으로 빠져나가 $g_n(x)=0$이 되고 $x=0$에서도 $g_n(0)=0$이므로, $g_n\to0$으로 pointwise 수렴한다. 그러나 삼각형의 넓이는 항상 $\tfrac12\cdot\tfrac1n\cdot2n=1$이므로

\[\int_0^1 g_n = 1 \not\to 0 = \int_0^1 \lim_{n\to\infty} g_n.\]

극한과 적분의 순서를 바꿀 수 없다.

이 두 예가 보여주는 병리는 모두 “$N$을 얼마나 크게 잡아야 $f_n(x)$가 $f(x)$에 가까워지는가”가 점 $x$마다 제각각이라는 데서 온다. $x^n$의 경우 $x$가 $1$에 가까울수록 한없이 큰 $n$이 필요하다. 이 결함을 없앤 것이 uniform convergence이다.

Uniform convergence

Definition (Uniform Convergence). \((f_n)_{n=1}^\infty\) converges uniformly to $f$ on $E$ if for every $\varepsilon>0$ there exists $N$ such that \(\vert f_n(x)-f(x)\vert<\varepsilon \quad\text{for all } n\ge N \text{ and all } x\in E.\)

pointwise convergence의 정의와 글자는 거의 같지만 결정적 차이가 있다. pointwise convergence에서는 $N$이 $\varepsilon$과 $x$ 둘 다에 의존해도 되지만, uniform convergence에서는 하나의 $N$이 모든 $x$에 대해 동시에 통해야 한다.

함수해석적으로는 $E$ 위의 함수 $g$에 대해

\[\lVert g\rVert_E := \sup_{x\in E}\vert g(x)\vert\]

를 정의했을 때 uniform convergence는 곧 $\lVert f_n-f\rVert_E\to0$과 같은 말이다. 기하학적으로는, 극한 함수 $f$의 그래프 둘레에 폭 $2\varepsilon$짜리 띠를 두르면 충분히 큰 $n$부터 $f_n$의 그래프 전체가 그 띠 안에 들어간다는 뜻이다.

Example. 위의 $f_n(x)=x^n$은 $[0,1]$에서 uniformly 수렴하지 않는다. 극한 $f$에 대해 $0\le x<1$에서 $\vert f_n(x)-f(x)\vert=x^n$이고 $\sup_{0\le x<1}x^n=1$이므로 $\lVert f_n-f\rVert_{[0,1]}=1\not\to0$이다. 반면 $0<a<1$인 $[0,a]$로 정의역을 좁히면 $\lVert f_n-f\rVert_{[0,a]}=a^n\to0$이므로 uniformly 수렴한다. uniform convergence 여부는 정의역에 민감하다.

Uniform Cauchy criterion

극한 함수를 미리 알지 못해도 uniform convergence를 판정할 수 있으면 유용하다. 수열의 완비성에서와 똑같은 역할을 하는 것이 다음 판정법이다.

Theorem (Uniform Cauchy Criterion). \((f_n)_{n=1}^\infty\) converges uniformly on $E$ to some function if and only if for every $\varepsilon>0$ there exists $N$ such that \(\vert f_n(x)-f_m(x)\vert<\varepsilon \quad\text{for all } m,n\ge N \text{ and all } x\in E.\)

Proof. ($\Rightarrow$) $f_n\to f$ uniformly 수렴하면, $\varepsilon>0$에 대해 $n\ge N$이면 $\lVert f_n-f\rVert_E<\varepsilon/2$이 되는 $N$을 잡아 $m,n\ge N$에서 $\vert f_n(x)-f_m(x)\vert\le\vert f_n(x)-f(x)\vert+\vert f(x)-f_m(x)\vert<\varepsilon$을 얻는다.

($\Leftarrow$) 각 고정된 $x$에서 \((f_n(x))_{n=1}^\infty\)은 실수의 Cauchy 수열이므로, 실수의 완비성에 의해 극한이 존재한다. 그 극한을 $f(x)$라 하면 $f_n\to f$ pointwise 수렴한다. 이제 $\varepsilon>0$에 대해 가정에서 $N$을 잡으면, $m,n\ge N$과 모든 $x$에서 $\vert f_n(x)-f_m(x)\vert<\varepsilon$이다. 여기서 $x$를 고정하고 $m\to\infty$로 보내면 $f_m(x)\to f(x)$이므로 $\vert f_n(x)-f(x)\vert\le\varepsilon$을 얻는다. 이것이 모든 $x$에서 성립하므로 $n\ge N$에서 $\lVert f_n-f\rVert_E\le\varepsilon$, 즉 $f_n\to f$ uniformly 수렴한다. $\blacksquare$

Weierstrass M-test

함수들의 급수 $\sum_{n=1}^\infty f_n$은 부분합 $s_N:=\sum_{n=1}^N f_n$의 극한으로 정의한다. 급수의 uniform convergence는 다음의 단순하면서 강력한 판정법으로 대부분 처리된다.

Theorem (Weierstrass M-test). Suppose $\vert f_n(x)\vert\le M_n$ for all $x\in E$ and all $n$, and $\sum_{n=1}^\infty M_n<\infty$. Then $\sum_{n=1}^\infty f_n$ converges uniformly (and absolutely) on $E$.

Proof. $m<n$인 부분합의 차는 모든 $x\in E$에서

\[\left\vert s_n(x)-s_m(x)\right\vert = \left\vert\sum_{k=m+1}^n f_k(x)\right\vert \le \sum_{k=m+1}^n \vert f_k(x)\vert \le \sum_{k=m+1}^n M_k\]

이다. $\sum M_n$이 수렴하므로 그 꼬리합 $\sum_{k=m+1}^n M_k$은 $m,n$이 커지면 $0$으로 가고, 이는 $x$와 무관하므로 \((s_N)\)은 Uniform Cauchy Criterion을 만족한다. 따라서 $\sum f_n$은 $E$에서 uniformly 수렴한다. $\blacksquare$

연속성의 보존

이제 uniform convergence가 실제로 좋은 성질을 보존함을 보인다. 먼저 연속성이다.

Theorem. Let $f_n\to f$ uniformly on $E$. If each $f_n$ is continuous at $x_0\in E$, then $f$ is continuous at $x_0$. In particular, a uniform limit of continuous functions is continuous.

Proof. $\varepsilon>0$이 주어졌다고 하자. uniform convergence에 의해 어떤 $n$을 골라 모든 $x\in E$에서 $\vert f_n(x)-f(x)\vert<\varepsilon/3$이 되게 할 수 있다. 이 $n$을 고정하면 $f_n$이 $x_0$에서 연속이므로, 어떤 $\delta>0$이 있어 $x\in E$이고 $\vert x-x_0\vert<\delta$이면 $\vert f_n(x)-f_n(x_0)\vert<\varepsilon/3$이다. 그러면 그런 $x$에 대해

\[\vert f(x)-f(x_0)\vert \le \vert f(x)-f_n(x)\vert + \vert f_n(x)-f_n(x_0)\vert + \vert f_n(x_0)-f(x_0)\vert < \frac{\varepsilon}{3}+\frac{\varepsilon}{3}+\frac{\varepsilon}{3}=\varepsilon\]

이므로 $f$는 $x_0$에서 연속이다. $\blacksquare$

첫 번째 예의 $x^n$은 정확히 이 정리의 대우다. 극한이 불연속이었으므로 그 수렴은 uniform convergence일 수 없었던 것이다.

사실 이 정리는 uniform convergence 개념이 왜 필요했는지를 보여주는 역사적 사건의 핵심에 놓여 있다. Cauchy는 1821년 《Cours d’analyse》에서 “수렴하는 연속함수 급수의 합은 연속이다”라고 정리로 적었다 [6]. 그러나 1826년 Abel은 삼각급수(Fourier 급수)

\[\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n}\sin(nx) = \frac{x}{2} \quad (-\pi<x<\pi)\]

를 반례로 지적했다 [7]. 각 항은 연속이고 급수는 모든 점에서 수렴하지만, 그 합은 $x$가 $\pi$의 홀수배를 지날 때마다 뛰어 불연속이다. Cauchy의 급수가 pointwise convergence일 뿐 uniform convergence가 아니었기 때문이다. 이 역설을 해소한 것이 바로 두 수렴의 구별이었고, 1847년 Seidel과 Stokes가 독립적으로 그 조건을 짚었으며 [8][9] Weierstrass가 1850~60년대 강의에서 오늘날의 uniform convergence 개념으로 확립했다. 위 정리는 uniform convergence를 가정하면 Cauchy의 주장이 정확히 옳아짐을 말해준다.

이 정리는 또한 연속함수들의 공간을 하나의 거리공간으로 세우는 출발점이다. 연속함수는 닫힌구간에서 유계이므로(Extreme Value Theorem) $C[a,b]$(닫힌구간 위 연속함수들의 공간)의 함수는 $\lVert f\rVert_{[a,b]}$가 유한하고, $d(f,g):=\lVert f-g\rVert_{[a,b]}$는 $C[a,b]$ 위의 metric이 된다. 이 거리 아래에서 uniform convergence는 정확히 이 metric space에서의 수렴이고 uniform Cauchy criterion 덕분에 $C[a,b]$는 complete라는 것도 알 수 있다. 이 관점은 함수해석에서 본격적으로 전개되므로 여기서는 언급만 해둔다.

어디서도 미분 불가능한 연속함수

Theorem (Weierstrass). Let $0<a<1$ and let $b$ be an odd integer with $ab>1+\tfrac32\pi$. Then \(W(x):=\sum_{n=0}^\infty a^n\cos(b^n\pi x)\) is continuous on $\mathbb{R}$ but is differentiable at no point.

연속성. 각 항은 $\vert a^n\cos(b^n\pi x)\vert\le a^n$으로 지배되고 $0<a<1$이라 $\sum a^n<\infty$이므로, Weierstrass M-test에 의해 급수는 $\mathbb{R}$에서 uniformly 수렴한다. 부분합은 유한 개 연속함수의 합이라 연속이므로, 연속성 보존 정리에 의해 극한 $W$도 연속이다. $\blacksquare$

정작 놀라운 것은 $W$가 단 한 점에서도 미분 불가능하다는 사실이다. 직관은 이렇다. $n$이 커질수록 $\cos(b^n\pi x)$은 점점 빠르게 진동하는데, 진폭 $a^n$이 줄어드는 속도보다 진동수 $b^n$이 빨리 커지도록 $ab>1+\tfrac32\pi$를 걸어두면, 아무리 작은 $h$에 대해서도 차분몫 $\frac{W(x+h)-W(x)}{h}$을 지배하는 항이 계속 바뀌어 하나의 극한으로 모이지 못한다. 완전한 증명은 이 글의 도구를 넘어서므로 밝히고 넘어간다 [10]. 이것이 1872년 Weierstrass가 내놓아, “연속함수는 고립된 예외를 빼면 미분가능하리라”는 당대의 통념을 무너뜨린 유명한 반례다. 뒤에 van der Waerden은 $\cos$ 대신 가장 가까운 정수까지의 거리 함수 $\varphi(t):=\operatorname{dist}(t,\mathbb{Z})$를 써서

\[V(x):=\sum_{n=0}^\infty \frac{\varphi(2^n x)}{2^n}\]

라는 더 간단한 예를 주었는데 [11], $\vert\varphi(2^nx)/2^n\vert\le 2^{-n-1}$이라 연속성은 똑같이 M-test에서 곧바로 나온다.

Cantor–Lebesgue function

Construction. $f_0(x):=x$에서 시작해, $[0,1]$ 위 연속함수열을

\[f_{n+1}(x):=\begin{cases}\tfrac12\,f_n(3x) & 0\le x\le\tfrac13,\\[4pt] \tfrac12 & \tfrac13\le x\le\tfrac23,\\[4pt] \tfrac12+\tfrac12\,f_n(3x-2) & \tfrac23\le x\le1\end{cases}\]

로 정의한다. 각 $f_n$은 연속이고 nondecreasing이며 $f_n(0)=0$, $f_n(1)=1$이다.

Theorem. 이 \((f_n)_{n=0}^\infty\)은 $[0,1]$에서 어떤 연속함수 $c$로 uniformly 수렴한다. 극한 $c$를 Cantor–Lebesgue function이라 부른다 [12]. $c$는 nondecreasing이고 $c(0)=0$, $c(1)=1$이며 Cantor 집합의 여집합(제거된 가운데 삼등분 구간들, 길이의 합이 $1$)에서 국소적으로 상수다. $c$는 uniformly 연속까지는 만족하지만 Lipschitz 연속은 아니다.

Proof. $n\ge1$에서 가운데 구간 $[\tfrac13,\tfrac23]$에서는 $f_{n+1}=f_n=\tfrac12$이라 차가 $0$이고, 양옆 구간에서는 $f_{n+1}(x)-f_n(x)$이 각각 $\tfrac12\big(f_n-f_{n-1}\big)(3x)$와 $\tfrac12\big(f_n-f_{n-1}\big)(3x-2)$ 꼴이므로

\[\lVert f_{n+1}-f_n\rVert_{[0,1]}\le\tfrac12\,\lVert f_n-f_{n-1}\rVert_{[0,1]}\]

이다. 따라서 $\lVert f_{n+1}-f_n\rVert_{[0,1]}\le 2^{-n}\lVert f_1-f_0\rVert_{[0,1]}$이고 이 상한들의 합이 유한하므로 \((f_n)\)은 Uniform Cauchy Criterion을 만족한다. 그러므로 $f_n\to c$ uniformly 수렴하고, 연속성 보존 정리에 의해 $c$가 연속이다. nondecreasing성, 끝점 값, 가운데 구간에서의 상수성은 모든 $f_n$이 공유하는 성질이라 극한에서도 유지된다. 특히 $c$는 닫힌구간 $[0,1]$ 위의 연속함수이므로 Heine–Cantor Theorem에 의해 uniformly 연속이다.

이제 $c$가 Lipschitz는 아님을 보이자. 구성에서 Cantor 집합을 덮는 $n$단계 구간 $[a,b]$(길이 $b-a=3^{-n}$)마다 $c$는 정확히 $c(b)-c(a)=2^{-n}$만큼 오른다. 그러면

\[\frac{\vert c(b)-c(a)\vert}{\vert b-a\vert}=\frac{2^{-n}}{3^{-n}}=\Big(\frac32\Big)^n\longrightarrow\infty \quad(n\to\infty)\]

이므로, 어떤 상수 $L$을 잡아도 $n$을 충분히 키우면 $\vert c(b)-c(a)\vert>L\vert b-a\vert$인 구간이 나온다. 즉 $c$는 어떤 Lipschitz 조건도 만족할 수 없다. $\blacksquare$

이 $c$는 단조증가하니 거의 모든 점에서 미분가능하고 그 도함수가 $0$인데도 $0$에서 $1$까지 올라가는, 이른바 singular function이다. 이 사실을 정확히 재려면 측도론이 필요하므로 다른 글로 미룬다.

적분과 극한의 교환

Theorem. Let $f_n$ be Riemann integrable on $[a,b]$ and $f_n\to f$ uniformly on $[a,b]$. Then $f$ is Riemann integrable on $[a,b]$ and \(\lim_{n\to\infty}\int_a^b f_n = \int_a^b f = \int_a^b \Big(\lim_{n\to\infty} f_n\Big).\)

Proof. 먼저 $f$의 적분가능성을 보인다. $\varepsilon>0$이 주어지면 $\varepsilon_n:=\lVert f_n-f\rVert_{[a,b]}\to0$이므로 $\varepsilon_n<\varepsilon$인 $n$을 하나 고정할 수 있고, 모든 $x$에서 $f_n(x)-\varepsilon<f(x)<f_n(x)+\varepsilon$이다. 임의의 분할 $P$에 대해 각 소구간에서 $f$의 진동(oscillation)은 $f_n$의 진동보다 많아야 $2\varepsilon$만큼 크므로, upper sum과 lower sum에 대해

\[U(f,P)-L(f,P) \le \big(U(f_n,P)-L(f_n,P)\big) + 2\varepsilon(b-a)\]

가 성립한다. $f_n$이 적분가능하므로 Riemann 적분가능성의 판정조건에 의해 $U(f_n,P)-L(f_n,P)<\varepsilon$이 되는 분할 $P$가 있고, 그러면 $U(f,P)-L(f,P)<\varepsilon+2\varepsilon(b-a)$이다. $\varepsilon>0$이 임의였으므로 $f$는 적분가능하다.

수렴은 곧바로 나온다. 적분의 단조성에서

\[\left\vert \int_a^b f_n - \int_a^b f\right\vert = \left\vert\int_a^b (f_n-f)\right\vert \le \int_a^b \vert f_n-f\vert \le (b-a)\,\lVert f_n-f\rVert_{[a,b]} \to 0. \qquad\blacksquare\]

Corollary (항별 적분). If $f_n$ are Riemann integrable and $\sum_{n=1}^\infty f_n$ converges uniformly on $[a,b]$, then \(\int_a^b \sum_{n=1}^\infty f_n = \sum_{n=1}^\infty \int_a^b f_n.\)

Proof. 부분합 $s_N=\sum_{n=1}^N f_n$은 적분가능하고 uniformly 수렴하므로 위 정리를 $s_N$에 적용하면 된다. $\blacksquare$

미분과 극한의 교환

미분은 사정이 다르다. $f_n\to f$의 uniform convergence만으로는 $f_n’\to f’$을 결코 보장하지 못한다.

Example. $f_n(x):=\dfrac{\sin(nx)}{\sqrt{n}}$이라 하자. $\lVert f_n\rVert_{\mathbb{R}}\le 1/\sqrt{n}\to0$이므로 $f_n\to0$으로 uniformly 수렴한다. 그러나 $f_n’(x)=\sqrt{n}\cos(nx)$이고, 예컨대 $x=0$에서 $f_n’(0)=\sqrt{n}\to\infty$이므로 \((f_n')\)은 극한 $0=f’$은커녕 아무 데로도 수렴하지 않는다.

따라서 미분과 극한을 바꾸려면 극한 함수가 아니라 도함수열에 uniform convergence 조건을 걸어야 한다. 그러면 정작 원래 함수열은 한 점에서만 수렴해도 충분하다.

Theorem. Let $f_n$ be differentiable on $[a,b]$, suppose \((f_n(x_0))_{n=1}^\infty\) converges for some $x_0\in[a,b]$, and suppose \((f_n')_{n=1}^\infty\) converges uniformly on $[a,b]$. Then \((f_n)\) converges uniformly on $[a,b]$ to a function $f$, and $f$ is differentiable with \(f'(x)=\lim_{n\to\infty} f_n'(x) \quad\text{for every } x\in[a,b].\)

Proof. $\varepsilon>0$이 주어졌다고 하자. \((f_n(x_0))\)이 수렴하고 \((f_n')\)이 uniformly 수렴하므로, 어떤 $N$이 있어 $m,n\ge N$이면 $\vert f_n(x_0)-f_m(x_0)\vert<\varepsilon$이고 모든 $t\in[a,b]$에서 $\vert f_n’(t)-f_m’(t)\vert<\varepsilon$이다. 함수 $f_n-f_m$은 미분가능하므로 Mean Value Theorem을 $[x,t]$(또는 $[t,x]$)에 적용하면, 임의의 $x,t\in[a,b]$에 대해 그 사이 어떤 점 $\xi$가 있어

\[\big(f_n(x)-f_m(x)\big)-\big(f_n(t)-f_m(t)\big) = \big(f_n'(\xi)-f_m'(\xi)\big)(x-t)\]

이고, 따라서

\[\left\vert \big(f_n(x)-f_m(x)\big)-\big(f_n(t)-f_m(t)\big)\right\vert \le \varepsilon\,\vert x-t\vert \le \varepsilon(b-a) \tag{$*$}\]

이다. $(*)$에서 $t:=x_0$으로 두면 $m,n\ge N$과 모든 $x$에서

\[\vert f_n(x)-f_m(x)\vert \le \vert f_n(x_0)-f_m(x_0)\vert + \varepsilon(b-a) < \varepsilon\big(1+(b-a)\big)\]

이므로 \((f_n)\)은 Uniform Cauchy Criterion을 만족해 어떤 $f$로 uniformly 수렴한다.

이제 미분가능성을 보이자. $x\in[a,b]$를 고정하고, $t\ne x$에 대해

\[\varphi_n(t):=\frac{f_n(t)-f_n(x)}{t-x}, \qquad \varphi(t):=\frac{f(t)-f(x)}{t-x}\]

로 두자. $(*)$의 양변을 $\vert t-x\vert$로 나누면 $m,n\ge N$과 모든 $t\ne x$에서 $\vert\varphi_n(t)-\varphi_m(t)\vert\le\varepsilon$이므로, \((\varphi_n)\)은 \(\{t\in[a,b]:t\ne x\}\) 위에서 uniformly 수렴하고 그 극한은 $\varphi$이다. 한편 $f_n$이 $x$에서 미분가능하므로 $\lim_{t\to x}\varphi_n(t)=f_n’(x)$이다. uniformly 수렴하는 함수열은 극한 연산과 순서를 바꿀 수 있으므로(아래 Lemma), $\varphi$의 $t\to x$ 극한이 존재하고

\[f'(x)=\lim_{t\to x}\varphi(t) = \lim_{n\to\infty}\Big(\lim_{t\to x}\varphi_n(t)\Big) = \lim_{n\to\infty} f_n'(x)\]

이다. $\blacksquare$

이 증명에서 쓴 극한 교환은 연속성 보존 정리와 뿌리가 같은 다음 사실이다.

Lemma (극한의 교환). Let $g_n\to g$ uniformly on $E$, let $x_0$ be a limit point of $E$, and suppose $A_n:=\lim_{t\to x_0}g_n(t)$ exists for each $n$. Then \((A_n)\) converges and \(\lim_{t\to x_0}g(t)=\lim_{n\to\infty}A_n, \quad\text{i.e.}\quad \lim_{t\to x_0}\lim_{n\to\infty}g_n(t)=\lim_{n\to\infty}\lim_{t\to x_0}g_n(t).\)

Proof. $\varepsilon>0$에 대해 균등 Cauchy 성질로 $m,n\ge N$에서 $\lVert g_n-g_m\rVert_E<\varepsilon$을 얻고, $t\to x_0$ 극한을 취하면 $\vert A_n-A_m\vert\le\varepsilon$이므로 \((A_n)\)은 Cauchy, 즉 수렴한다. 그 극한을 $A$라 하자. 이제 $n$을 크게 잡아 $\lVert g_n-g\rVert_E<\varepsilon/3$이고 $\vert A_n-A\vert<\varepsilon/3$이 되게 하고, 이 $n$에 대해 $\lim_{t\to x_0}g_n(t)=A_n$이므로 $0<\vert t-x_0\vert$가 충분히 작으면 $\vert g_n(t)-A_n\vert<\varepsilon/3$이다. 그런 $t$에서

\[\vert g(t)-A\vert \le \vert g(t)-g_n(t)\vert+\vert g_n(t)-A_n\vert+\vert A_n-A\vert<\varepsilon\]

이므로 $\lim_{t\to x_0}g(t)=A$이다. $\blacksquare$

Dini’s Theorem

일반적으로 pointwise convergence는 uniform convergence보다 훨씬 약하지만, 조건이 갖춰지면 둘이 일치한다. 극한이 연속이고 수렴이 단조로우며 정의역이 닫힌구간이면 그렇다.

Theorem (Dini). Let $f_n:[a,b]\to\mathbb{R}$ be continuous and $f_n\to f$ pointwise with $f$ continuous. If \((f_n(x))_{n=1}^\infty\) is monotone in $n$ for each fixed $x$, then $f_n\to f$ uniformly on $[a,b]$.

Proof. $g_n:=\vert f_n-f\vert$라 하면 각 $g_n$은 연속이고 $g_n\to0$으로 pointwise 수렴하며, 단조성 가정에 의해 각 $x$에서 \((g_n(x))\)은 $0$으로 감소한다(즉 $m\le n$이면 $g_m(x)\ge g_n(x)$). uniformly 수렴하지 않는다고 가정하자. 그러면 어떤 $\varepsilon>0$과 지표 $n_1<n_2<\cdots$ 및 점 $x_k\in[a,b]$가 있어 $g_{n_k}(x_k)\ge\varepsilon$이다. Bolzano–Weierstrass에 의해 \((x_k)\)의 부분수열이 어떤 $x^\in[a,b]$로 수렴하는데, 표기를 아껴 그 부분수열도 $x_k\to x^$라 하자.

$m$을 하나 고정하자. $k$가 충분히 크면 $n_k\ge m$이므로 감소성에 의해 $g_m(x_k)\ge g_{n_k}(x_k)\ge\varepsilon$이다. $g_m$이 연속이므로 $k\to\infty$로 보내면 $g_m(x^)=\lim_k g_m(x_k)\ge\varepsilon$이다. 이것이 모든 $m$에서 성립하므로 $g_m(x^)\ge\varepsilon$인데, 이는 $g_m(x^*)\to0$과 모순이다. 따라서 $f_n\to f$ uniformly 수렴한다. $\blacksquare$

세 조건은 모두 필요하다. $[0,1]$에서 $f_n(x)=x^n$은 단조수렴하지만 극한이 불연속이라 uniformly 수렴하지 않고, 앞의 삼각형 예 $g_n$은 극한이 연속이지만 단조수렴이 아니라 uniformly 수렴하지 않는다. 정의역이 닫힌구간이라는 조건도 마찬가지로 뺄 수 없다.

Example (정의역이 닫힌구간이 아니면 깨진다). 같은 $f_n(x)=x^n$을 이번에는 열린구간 $(0,1)$ 위에서 보자. 고정된 $x\in(0,1)$에서 $x^n$은 $n$에 대해 감소하며 $0$으로 수렴하고, 그 극한 $f\equiv0$은 $(0,1)$에서 연속이다. 즉 각 $f_n$이 연속, 극한이 연속, 수렴이 단조라는 Dini의 가정 중 정의역이 닫혔다는 것만 빠졌다. 그런데 $\lVert f_n-f\rVert_{(0,1)}=\sup_{0<x<1}x^n=1\not\to0$이므로 $f_n$은 $(0,1)$에서 uniformly 수렴하지 않는다. $[0,1]$에서는 극한의 불연속이 문제였다면, 여기서는 극한이 연속인데도 수렴 속도를 좌우하는 ‘가장 나쁜’ 점 $x=1$이 정의역에서 빠져 있어 하나의 $N$으로 묶을 수 없는 것이다. Dini’s Theorem의 증명이 Bolzano–Weierstrass로 극한점 $x^*$를 정의역 안에 붙잡는 데 정의역의 닫힘과 유계를 쓴다는 점을 되짚어 보면, 이 가정이 어디서 본질적으로 개입하는지 분명해진다.

Weierstrass Approximation Theorem

uniform convergence가 주는 가장 놀라운 결과 중 하나는, 아무리 복잡한 연속함수라도 다항식으로 원하는 만큼 uniformly 근사할 수 있다는 것이다.

Theorem (Weierstrass Approximation). For every continuous $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ and every $\varepsilon>0$, there exists a polynomial $p$ such that \(\sup_{x\in[a,b]}\vert f(x)-p(x)\vert<\varepsilon.\) Equivalently, every continuous function on a closed bounded interval is a uniform limit of polynomials.

이 정리는 연속성만으로 다항식 근사가 가능함을 말한다. 미분가능성 같은 추가 조건은 전혀 필요 없어서, 어디서도 미분되지 않는 극단적으로 험한 연속함수조차 매끄러운 다항식들의 uniform limit으로 표현된다. Weierstrass가 1885년에 처음 증명했고 [1], Bernstein은 1912년에 근사하는 다항식을 명시적으로 써 내려가는 구성적 증명을 주었다 [2]. $[0,1]$ 위의 $f$에 대해 그 Bernstein polynomial

\[B_n(f)(x):=\sum_{k=0}^n f\!\left(\frac{k}{n}\right)\binom{n}{k}x^k(1-x)^{n-k}\]

이 $f$로 uniformly 수렴한다는 것이 그 내용이다. 증명은 확률론적으로 읽으면 자연스럽지만(이항분포의 대수의 법칙) 이 글의 도구를 넘어서므로 다른 글로 미룬다. 이 정리는 나중에 Stone에 의해 더 일반적인 정의역과, 다항식을 대신하는 함수 대수(subalgebra)로 크게 일반화되어 Stone–Weierstrass Theorem으로 불린다 [3].

Arzelà–Ascoli

마지막으로, 어떤 함수열이 uniformly 수렴하는 부분수열을 가지려면 무엇이 필요한지 묻는 것은 자연스럽다. 실수열에서 그 답이 유계성(Bolzano–Weierstrass)이었다면, 함수열에서는 유계성만으로 부족하고 “함수들이 한꺼번에 고르게 연속”이라는 조건이 더 필요하다.

Definition (Equicontinuity). A family $\mathscr{F}$ of functions on $[a,b]$ is equicontinuous if for every $\varepsilon>0$ there exists $\delta>0$ such that $\vert f(x)-f(y)\vert<\varepsilon$ for all $f\in\mathscr{F}$ and all $x,y\in[a,b]$ with $\vert x-y\vert<\delta$.

정의에서 $\delta$가 점뿐 아니라 함수 $f$에도 무관하게 하나로 통한다는 점이 핵심이다. 이는 각 함수의 uniform continuity를 함수족 전체에 대해 한꺼번에 요구하는 것과 같다.

Theorem (Arzelà–Ascoli). A sequence of functions on $[a,b]$ has a uniformly convergent subsequence if and only if it is uniformly bounded and equicontinuous.

이 정리는 유계성만으로 부분수열의 수렴을 보장하던 유한차원의 직관이 함수공간에서 왜 무너지는지, 그리고 무엇을 보태야 회복되는지를 정확히 짚어준다. 증명은 유리수 점들에서 대각선 논법으로 수렴하는 부분수열을 뽑은 뒤 equicontinuity로 그 수렴을 구간 전체로 고르게 퍼뜨리는 방식으로 이루어지는데 [4][5], 이 글의 범위를 넘어 다른 글로 미룬다. 이 정리는 미분방정식 해의 존재성(Peano)이나 정규족(normal family) 이론 등 해석학 곳곳에서 수렴하는 부분수열을 뽑아내는 핵심 도구다.

참고문헌

  1. Weierstrass, K. (1885). Über die analytische Darstellbarkeit sogenannter willkürlicher Functionen einer reellen Veränderlichen. Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 633–639, 789–805.
  2. Bernstein, S. (1912). Démonstration du théorème de Weierstrass fondée sur le calcul des probabilités. Communications de la Société mathématique de Kharkow, 13, 1–2.
  3. Stone, M. H. (1948). The Generalized Weierstrass Approximation Theorem. Mathematics Magazine, 21(4), 167–184; 21(5), 237–254.
  4. Ascoli, G. (1883–1884). Le curve limiti di una varietà data di curve. Atti della R. Accademia dei Lincei, Memorie della Cl. Sci. Fis. Mat. Nat., 18, 521–586.
  5. Arzelà, C. (1895). Sulle funzioni di linee. Memorie della R. Accademia delle Scienze dell’Istituto di Bologna, 5(5), 55–74.
  6. Cauchy, A.-L. (1821). Cours d’analyse de l’École royale polytechnique. Paris.
  7. Abel, N. H. (1826). Untersuchungen über die Reihe $1+\frac{m}{1}x+\frac{m(m-1)}{1\cdot2}x^2+\cdots$. Journal für die reine und angewandte Mathematik, 1, 311–339.
  8. Seidel, P. L. (1847). Note über eine Eigenschaft der Reihen, welche discontinuirliche Functionen darstellen. Abhandlungen der Bayerischen Akademie der Wissenschaften, 5, 379–394.
  9. Stokes, G. G. (1847). On the critical values of the sums of periodic series. Transactions of the Cambridge Philosophical Society, 8, 533–583.
  10. Weierstrass, K. (1872). Über continuirliche Functionen eines reellen Arguments, die für keinen Werth des letzteren einen bestimmten Differentialquotienten besitzen. In Mathematische Werke, Bd. II, 71–74. Berlin: Mayer & Müller, 1895.
  11. van der Waerden, B. L. (1930). Ein einfaches Beispiel einer nicht-differenzierbaren stetigen Funktion. Mathematische Zeitschrift, 32, 474–475.
  12. Cantor, G. (1884). De la puissance des ensembles parfaits de points. Acta Mathematica, 4, 381–392.