미분가능성의 위계

Definition ($C^k$). Let $k\ge0$ be an integer. A function $f$ on an open interval $I$ is of class $C^k$ if $f$ is $k$ times differentiable on $I$ and $f^{(k)}$ is continuous on $I$. We write $f\in C^k(I)$. Here $C^0$ means continuous, and $f$ is of class $C^\infty$ (smooth) if $f\in C^k(I)$ for every $k$.

정의에서 곧바로 포함관계

\[C^0 \supset C^1 \supset C^2 \supset \cdots \supset C^\infty = \bigcap_{k=0}^\infty C^k\]

가 나온다. $f^{(k)}$가 미분가능하면 연속이므로 $C^k\supset C^{k+1}$이기 때문이다. 이 포함은 모두 진부분집합 관계다.

Example (위계가 진짜로 좁아진다). $f(x):=x\vert x\vert$를 보자. $x>0$에서 $f(x)=x^2$, $x<0$에서 $f(x)=-x^2$이고, 미분하면 $f’(x)=2\vert x\vert$이다($f’(0)=0$도 정의에서 직접 확인된다). $f’=2\vert x\vert$은 연속이므로 $f\in C^1$이지만, $\vert x\vert$은 $0$에서 미분 불가능하므로 $f\notin C^2$이다. 이 함수를 $k-1$번 적분하면 $C^k$이지만 $C^{k+1}$은 아닌 함수를 얻으므로, 위 위계의 모든 칸이 실제로 서로 다르다.

가장 위의 $C^\infty$조차 끝이 아니다. 무한히 매끄러운 함수 중에서도 자신의 Taylor 급수로 복원되는 것과 그렇지 않은 것이 갈리는데, 이를 이해하려면 먼저 멱급수를 봐야 한다.

멱급수

Definition (Power Series). A power series centered at $c$ is a series of the form \(\sum_{n=0}^\infty a_n(x-c)^n, \qquad a_n\in\mathbb{R}.\)

멱급수로 함수를 다루는 발상은 Newton까지 거슬러 올라간다. 그는 1669년 《De Analysi》에서 일반화된 이항정리

\[(1+x)^\alpha = \sum_{n=0}^\infty \binom{\alpha}{n}x^n, \qquad \binom{\alpha}{n}=\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}\]

를 무한급수로 자유롭게 다루며 계산의 동력으로 삼았다 [8]. 정수가 아닌 $\alpha$에서는 이 급수가 다항식으로 끝나지 않고 무한히 이어지므로, “어디서 수렴하는가”라는 질문이 비로소 절실해진다. 그 답은 계수의 증가 속도 하나로 완전히 결정된다.

Theorem (Cauchy–Hadamard). For the power series $\sum a_n(x-c)^n$, set \(\frac{1}{R} := \limsup_{n\to\infty}\vert a_n\vert^{1/n} \qquad (\text{with } 1/0:=\infty,\ 1/\infty:=0).\) Then the series converges absolutely for $\vert x-c\vert<R$ and diverges for $\vert x-c\vert>R$. The number $R\in[0,\infty]$ is the radius of convergence.

Proof. $x$를 고정하고 $b_n:=a_n(x-c)^n$에 root test를 적용하면

\[\limsup_{n\to\infty}\vert b_n\vert^{1/n} = \vert x-c\vert\,\limsup_{n\to\infty}\vert a_n\vert^{1/n} = \frac{\vert x-c\vert}{R}\]

이다. 이 값이 $1$보다 작으면(즉 $\vert x-c\vert<R$) root test에 의해 $\sum b_n$은 절대수렴하고, $1$보다 크면($\vert x-c\vert>R$) 일반항이 $0$으로 가지 않아 발산한다. $\blacksquare$

Cauchy–Hadamard 공식을 몇 가지에 적용해보자.

Example ($R=\infty$). $\sum_{n=0}^\infty \dfrac{x^n}{n!}$에서는 $(n!)^{1/n}\to\infty$이므로 $\vert a_n\vert^{1/n}=(1/n!)^{1/n}\to0$, 즉 $R=\infty$이다. 실직선 전체에서 수렴하며 이것이 $e^x$의 급수다.

Example ($R=0$). $\sum_{n=0}^\infty n!\,x^n$에서는 거꾸로 $(n!)^{1/n}\to\infty$라 $1/R=\infty$, 즉 $R=0$이다. $x=0$ 말고는 어디서도 수렴하지 않는다.

Example ($\limsup$이 필요한 경우). $\sum_{n=0}^\infty \big(3+(-1)^n\big)^n x^n$에서는 계수의 $n$제곱근 $3+(-1)^n$이 $n$의 홀짝에 따라 $2$와 $4$를 오가고 그 $\limsup$은 $4$이므로 $R=1/4$이다. 계수의 비 $a_{n+1}/a_n$은 진동해 ratio test로는 값이 안 나오지만, $\limsup$을 쓰는 Cauchy–Hadamard는 곧바로 $R$을 준다.

수렴반지름을 계수만으로 주는 이 공식은 Cauchy가 처음 적었고 Hadamard가 다시 정리해 두 사람의 이름이 붙었다 [5]. 수렴반지름 안쪽에서 멱급수는 단순히 수렴하는 데 그치지 않고, uniform convergence까지 누린다. 이것이 멱급수를 항별로 미분하고 적분할 수 있게 해주는 열쇠다.

Theorem. Suppose $\sum a_n(x-c)^n$ has radius of convergence $R>0$, with sum $f(x)$ on $(c-R,c+R)$. Then:

  1. The series converges uniformly on every closed interval $[c-r,c+r]$ with $0<r<R$.
  2. $f$ is of class $C^\infty$ on $(c-R,c+R)$, and may be differentiated and integrated term by term: \(f'(x)=\sum_{n=1}^\infty n\,a_n(x-c)^{n-1}, \qquad \int_c^x f(t)\,dt=\sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{n+1}(x-c)^{n+1}.\)
  3. The differentiated series has the same radius of convergence $R$, and consequently $a_n=\dfrac{f^{(n)}(c)}{n!}$.

Proof. (1) $0<r<R$에 대해 $r<\rho<R$인 $\rho$를 잡으면 $\sum a_n\rho^n$이 절대수렴하므로 $\vert a_n\vert\rho^n$은 유계다. $\vert x-c\vert\le r$이면

\[\vert a_n(x-c)^n\vert \le \vert a_n\vert r^n = \vert a_n\vert\rho^n\left(\frac{r}{\rho}\right)^n\]

인데 $r/\rho<1$이라 우변은 수렴하는 등비급수로 지배된다. 지난 글의 Weierstrass M-test에 의해 멱급수는 $[c-r,c+r]$에서 uniformly 수렴한다.

(3, 먼저) 미분된 급수 $\sum n a_n(x-c)^{n-1}$의 수렴반지름은 $\limsup\vert n a_n\vert^{1/n}=\limsup\vert a_n\vert^{1/n}$($n^{1/n}\to1$이므로)이라 원래와 같은 $R$이다. 따라서 미분된 급수도 (1)에 의해 컴팩트한 부분구간에서 uniformly 수렴한다.

(2) $[c-r,c+r]$에서 원래 급수가 수렴하고 항별로 미분한 급수가 uniformly 수렴하므로, 지난 글의 미분·극한 교환 정리를 부분합 $s_N$에 적용하면 $f$가 미분가능하고 $f’(x)=\sum n a_n(x-c)^{n-1}$이다. $f’$ 또한 같은 꼴의 멱급수이므로 같은 논증을 반복하면 $f$는 몇 번이든 미분가능하고, 각 도함수가 멱급수의 합으로 연속이다. 즉 $f\in C^\infty$이다. 항별 적분도 마찬가지로 uniform convergence에서 나오는 지난 글의 항별 적분 정리로 얻는다.

(3, 계수) $f^{(n)}(x)=\sum_{m\ge n} m(m-1)\cdots(m-n+1)a_m(x-c)^{m-n}$에 $x=c$를 대입하면 $m=n$ 항만 남아 $f^{(n)}(c)=n!\,a_n$이다. $\blacksquare$

세 번째 결론이 특히 중요하다. 멱급수의 계수는 그 합함수의 도함수 값으로 유일하게 결정되므로, 한 함수를 중심 $c$에서 멱급수로 나타내는 방법은 (있다면) 오직 하나뿐이다. 이 유일성은 다음과 같이 훨씬 강한 형태로 성립한다.

Theorem (Identity Theorem). Suppose $\sum a_n(x-c)^n$ and $\sum b_n(x-c)^n$ both have positive radius of convergence, and their sums agree at every point of a sequence \((x_k)_{k=1}^\infty\) with $x_k\to c$ and $x_k\ne c$. Then $a_n=b_n$ for all $n$.

Proof. $d_n:=a_n-b_n$, $h(x):=\sum_{n=0}^\infty d_n(x-c)^n$이라 하자. $h$는 공통 수렴구간에서 멱급수의 합이므로 연속이고, 가정에서 모든 $k$에 대해 $h(x_k)=0$이다. $x_k\to c$이고 $h$가 연속이므로 $d_0=h(c)=\lim_k h(x_k)=0$이다. $d_0=0$이니 $h(x)=(x-c)\,h_1(x)$로 쓸 수 있는데, 여기서 $h_1(x):=\sum_{n=0}^\infty d_{n+1}(x-c)^n$은 계수를 한 칸 민 것이라 $\limsup\vert d_{n+1}\vert^{1/n}=\limsup\vert d_n\vert^{1/n}$에 의해 같은 수렴반지름을 가진 멱급수이고, 따라서 연속이다. $x_k\ne c$에서 $h_1(x_k)=h(x_k)/(x_k-c)=0$이므로 다시 $d_1=h_1(c)=\lim_k h_1(x_k)=0$이다. 이를 반복하면 모든 $n$에서 $d_n=0$, 즉 $a_n=b_n$이다. $\blacksquare$

즉 두 멱급수가 $c$로 다가가는 점렬 위에서만 같아도(하물며 한 구간에서 같으면 당연히) 계수가 통째로 일치한다. 특히 어떤 근방에서 합이 항등적으로 $0$이면 모든 계수가 $0$이다.

멱급수끼리의 곱도 계수 수준에서 깔끔하게 닫힌다.

Theorem (멱급수의 곱). Suppose $f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-c)^n$ and $g(x)=\sum_{n=0}^\infty b_n(x-c)^n$ both converge for $\vert x-c\vert<r$. Then for $\vert x-c\vert<r$, \(f(x)g(x)=\sum_{n=0}^\infty c_n(x-c)^n, \qquad c_n=\sum_{k=0}^n a_k b_{n-k},\) and this series also converges for $\vert x-c\vert<r$. The coefficients $c_n$ are the Cauchy product of \((a_n)\) and \((b_n)\).

Proof. Cauchy–Hadamard 정리에서 보았듯 수렴반지름 안에서 멱급수는 절대수렴하므로, $\vert x-c\vert<r$에서 이중합 $\sum_{i,j}a_ib_j(x-c)^{i+j}$의 절댓값 합은 $\big(\sum_i\vert a_i\vert\vert x-c\vert^i\big)\big(\sum_j\vert b_j\vert\vert x-c\vert^j\big)<\infty$이다. 급수 글에서 본 대로 절대수렴하는 급수는 항을 어떤 순서로 더해도 같은 값이 되므로, 이 이중합을 전체 차수 $n=i+j$가 같은 것끼리 모으면 $(x-c)^n$의 계수가 $\sum_{k=0}^n a_kb_{n-k}=c_n$이 되어 주장한 식을 얻는다. $\blacksquare$

예를 들어 $\dfrac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^\infty x^n$을 자기 자신과 곱하면 $c_n=\sum_{k=0}^n 1=n+1$이므로 $\dfrac{1}{(1-x)^2}=\sum_{n=0}^\infty (n+1)x^n$ ($\vert x\vert<1$)을 곧바로 얻는다.

경계 $\vert x-c\vert=R$에서는 (1)의 uniform convergence는커녕 pointwise convergence조차 보장되지 않는다. 경계점에서 급수는 수렴할 수도, 발산할 수도 있으며, 이는 전적으로 그 점에서 급수 자체가 어떻게 행동하느냐의 문제다.

Example. $\log(1+x)=\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}}{n}x^n$은 수렴반지름이 $1$이다. 두 경계점의 운명은 정반대다. $x=1$에서는 $\sum\frac{(-1)^{n-1}}{n}$이 alternating series로 수렴하지만, $x=-1$에서는 대입하면 $\sum\frac{(-1)^{n-1}}{n}(-1)^n=-\sum\frac1n$, 즉 harmonic series가 되어 발산한다. 같은 멱급수인데 한쪽 끝에서는 수렴하고 다른 쪽 끝에서는 발산하는 것이다.

경계에서 급수가 수렴할 때, 그 합이 안쪽에서 다가간 극한 $\lim_{x\to R^-}f(x)$와 실제로 일치하는지는 한 단계 더 미묘한 문제다. 경계점에서 급수가 수렴하면 그 합은 반드시 이 극한과 같다는 것이 Abel’s theorem인데 [6], 증명은 이 글에서 다루지 않는다. 이를 $x=1$에 적용하면

\[1-\frac12+\frac13-\frac14+\cdots=\log 2, \qquad 1-\frac13+\frac15-\frac17+\cdots=\frac{\pi}{4}\]

같은 고전적 등식(뒤엣것은 Leibniz의 공식)이 정당화된다. 한 걸음 더 나아가 발산하는 경계 급수에까지 값을 배정하려는 물음은 Abel summation, Cesàro summation 같은 summability 이론으로 이어지며, Fourier 해석과 해석적 정수론에서 핵심 도구가 된다.

Taylor 급수

멱급수의 계수가 $a_n=f^{(n)}(c)/n!$로 강제된다는 사실은, 거꾸로 임의의 $C^\infty$ 함수에 대해 그 도함수 값들로 멱급수를 써 볼 동기를 준다.

Definition (Taylor Series). For $f\in C^\infty$ near $c$, its Taylor series at $c$ is \(\sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(c)}{n!}(x-c)^n.\) When $c=0$ this is also called the Maclaurin series.

함수를 그 도함수 값으로 이렇게 펼치는 공식은 1715년 Brook Taylor가 제시했고 [1], $c=0$인 특수한 경우를 널리 활용한 Colin Maclaurin의 이름이 그 형태에 남았다 [2]. 다만 두 사람은 이 급수가 수렴하는지, 수렴한다면 원래 함수와 같은지를 따지지 않았다. 실제로 이 급수가 (a) 수렴하는지, (b) 수렴한다면 그 합이 정말 $f$인지는 전혀 자명하지 않고, 이 두 질문을 가르는 것이 나머지항(remainder)이다.

Theorem (Taylor’s Theorem, Lagrange Remainder). Let $f\in C^{n+1}$ on an open interval containing $c$ and $x$. Then there exists $\xi$ strictly between $c$ and $x$ such that \(f(x) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(c)}{k!}(x-c)^k + \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-c)^{n+1}.\)

Proof. $x$를 고정하고 상수 $M$을 $f(x)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(c)}{k!}(x-c)^k + M(x-c)^{n+1}$이 성립하도록 정한다. 이제

\[g(t):=f(x)-\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(t)}{k!}(x-t)^k - M(x-t)^{n+1}\]

로 두면 $g$는 $C^1$이고, $M$을 그렇게 잡았으므로 $g(c)=0$, 또 $(x-x)$ 항들이 사라져 $g(x)=0$이다. Rolle’s Theorem에 의해 $c$와 $x$ 사이 어떤 $\xi$에서 $g’(\xi)=0$이다. $g’(t)$를 계산하면 합 부분이 망원경처럼 소거되어

\[g'(t) = -\frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^n + M(n+1)(x-t)^n\]

만 남는다. $g’(\xi)=0$이고 $x-\xi\ne0$이므로 $M=\dfrac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}$이고, 이를 $M$의 정의에 넣으면 원하는 식을 얻는다. $\blacksquare$

나머지항을 이렇게 도함수 하나의 값으로 정량적으로 통제하는 형태는 Lagrange가 처음 주었다 [3]. 이는 어떻게 보면 mean value theorem의 일반화라고 할 수도 있다.

$n\to\infty$일 때 나머지항 $R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-c)^{n+1}$이 $0$으로 가는 바로 그 $x$에서, 그리고 그때에만, Taylor 급수의 부분합이 $f(x)$로 수렴한다. 이 조건이 성립하는 함수에 특별한 이름을 준다.

Definition (Real-Analytic). $f$ is real-analytic at $c$ if there is a neighborhood of $c$ on which $f$ equals the sum of its Taylor series at $c$.

Theorem. $e^x$, $\sin x$, $\cos x$ are real-analytic on all of $\mathbb{R}$, with \(e^x=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}, \quad \sin x=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}, \quad \cos x=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}.\)

Proof. $f(x)=e^x$의 경우 $f^{(n+1)}=e^x$이므로, 임의의 $x$에 대해 $c=0$에서의 나머지항은 $0$과 $x$ 사이 어떤 $\xi$에 대해 $\vert R_n(x)\vert=\dfrac{e^\xi}{(n+1)!}\vert x\vert^{n+1}\le\dfrac{e^{\vert x\vert}\vert x\vert^{n+1}}{(n+1)!}$이다. 고정된 $x$에서 $\dfrac{\vert x\vert^{n+1}}{(n+1)!}\to0$이므로 $R_n(x)\to0$이고, 따라서 Taylor 급수가 $e^x$로 수렴한다. $\sin,\cos$은 도함수가 $\pm\sin,\pm\cos$을 순환해 항상 $\vert f^{(n+1)}\vert\le1$이므로 $\vert R_n(x)\vert\le\vert x\vert^{n+1}/(n+1)!\to0$으로 같은 결론을 얻는다. $\blacksquare$

수렴반지름이 유한한 예도 흔하다. $\dfrac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^\infty x^n$은 $\vert x\vert<1$에서만 성립하는데, 좌변은 $x=1$을 뺀 실직선 전체에서 $C^\infty$인데도 멱급수는 반지름 $1$을 넘지 못한다. 수렴반지름이 $x=1$의 특이점까지 거리로 묶이기 때문인데, 이 현상은 함수를 복소평면으로 확장해야 온전히 설명된다.

이렇게 확보한 표준적인 전개들은 그 자체로 강력한 계산 도구가 된다. L’Hôpital’s Rule로는 몇 번을 미분해도 풀리지 않는 극한이 Taylor 전개 앞에서는 계수 몇 개를 맞춰보는 산수로 끝나는 일이 흔하다.

Example (Taylor 급수로 극한 계산). 극한 $\displaystyle\lim_{x\to0}\left(\frac{\sin x}{x}\right)^{1/x^2}$을 보자. $x\to0$에서 밑은 $1$로, 지수는 $+\infty$로 가는 $1^\infty$ 꼴이라 값을 짐작하기 어렵다. 로그를 취한 뒤 위에서 얻은 $\sin$의 전개를 넣으면

\[\frac{\sin x}{x} = 1 - \frac{x^2}{6} + \frac{x^4}{120} - \cdots\]

이고, 여기에 $\log(1+u)=u-\frac{u^2}{2}+\cdots$를 $u=-\frac{x^2}{6}+\cdots$에 적용하면

\[\log\frac{\sin x}{x} = -\frac{x^2}{6} + O(x^4)\]

이다(여기서 $O(x^4)$는 $x^4$ 이상 차수의 항을 뭉뚱그린 것이다). 따라서

\[\frac{1}{x^2}\log\frac{\sin x}{x} = -\frac16 + O(x^2) \longrightarrow -\frac16 \quad (x\to0)\]

이고, 지수함수와 로그가 연속이므로 원래 극한은 $e^{-1/6}$이다. L’Hôpital’s Rule을 아무리 반복해도 엄두가 안 나는 극한이 전개 계수 비교 몇 줄로 끝난다.

매끄럽지만 해석적이지 않은 함수

$C^\infty$와 real-analytic은 같지 않다. Taylor 급수가 멀쩡히 수렴하고도 원래 함수와 다른 함수로 수렴할 수 있다는 사실이 그 간극을 극적으로 보여준다.

Example (Cauchy). \(f(x):=\begin{cases} e^{-1/x^2} & x\ne0 \\ 0 & x=0\end{cases}\) 라 하자. 이 함수는 $\mathbb{R}$ 전체에서 $C^\infty$이고 모든 $n$에 대해 $f^{(n)}(0)=0$이다.

확인. $x\ne0$에서 귀납법으로 $f^{(n)}(x)=p_n(1/x)\,e^{-1/x^2}$ 꼴임을 보일 수 있다(여기서 $p_n$은 다항식). $t\to\infty$일 때 임의의 다항식보다 $e^{-t^2}$이 빨리 $0$으로 가므로 $\lim_{x\to0}p_n(1/x)e^{-1/x^2}=0$이고, 이를 차분몫에 쓰면 $f^{(n)}(0)=0$이 귀납적으로 따라온다.

따라서 $f$의 $0$에서의 Taylor 급수는 $\sum 0\cdot x^n=0$으로 모든 $x$에서 수렴하지만, $x\ne0$에서 그 합 $0$은 $f(x)=e^{-1/x^2}>0$과 다르다. $f$는 $0$에서 $C^\infty$이면서 real-analytic이 아니다. Taylor 정리와 나머지항 논의를 오늘날 수준의 엄밀함으로 세우고, 바로 이 예로 “$C^\infty$이지만 해석적이지 않은” 세계를 분명히 드러낸 사람이 Cauchy다 [4].

이 예는 결코 병리적 예외가 아니다. Borel은 훨씬 강한 사실을 증명했다.

Theorem (Borel). For every sequence \((a_n)_{n=0}^\infty\) of real numbers, there exists a $C^\infty$ function $f$ on $\mathbb{R}$ with $f^{(n)}(0)=a_n$ for all $n$.

즉 도함수 값들은 아무렇게나 주어져도 좋고, 그것들이 만드는 Taylor 급수의 수렴반지름이 $0$이어도 상관없이 그런 $C^\infty$ 함수가 항상 존재한다 [7]. $C^\infty$라는 조건은 함수의 국소적 형태를 거의 아무것도 옭아매지 못하는 반면, real-analytic이라는 조건은 한 점 근방의 도함수 값들만으로 함수 전체를 못박는다. 이 대비가 실해석과 복소해석을 가르는 근본적인 분기점 중 하나다.

참고문헌

  1. Taylor, B. (1715). Methodus Incrementorum Directa et Inversa. London.
  2. Maclaurin, C. (1742). A Treatise of Fluxions. Edinburgh.
  3. Lagrange, J.-L. (1797). Théorie des fonctions analytiques. Paris.
  4. Cauchy, A.-L. (1823). Résumé des leçons données à l’École royale polytechnique sur le calcul infinitésimal. Paris.
  5. Hadamard, J. (1888). Sur le rayon de convergence des séries ordonnées suivant les puissances d’une variable. Comptes rendus de l’Académie des sciences, 106, 259–262.
  6. Abel, N. H. (1826). Untersuchungen über die Reihe $1+\frac{m}{1}x+\frac{m(m-1)}{1\cdot2}x^2+\cdots$. Journal für die reine und angewandte Mathematik, 1, 311–339.
  7. Borel, É. (1895). Sur quelques points de la théorie des fonctions. Annales scientifiques de l’École Normale Supérieure, 12, 9–55.
  8. Newton, I. (written 1669, published 1711). De Analysi per Aequationes Numero Terminorum Infinitas. London.