복소수의 등장

복소수가 처음 수면 위로 떠오른 것은 Cardano가 1545년 《Ars Magna》에서 삼차방정식을 풀 때다 [1]. 일반 삼차방정식은 간단한 치환으로 $t^3+pt+q=0$ 꼴로 바꿀 수 있고, 그 근은 Cardano 공식

\[t = \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{R}} + \sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{R}}, \qquad R := \frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}\]

로 주어진다. 그런데 $R<0$이면 서로 다른 실근이 셋인데도 공식이 음수의 제곱근 $\sqrt{R}$을 강제로 거친다. 이 상황을 casus irreducibilis라 부른다. 답은 멀쩡한 실수인데, 거기에 이르는 라디칼 경로가 “존재하지 않는” 수를 통과하는 것이다. 놀랍게도 이 수를 형식적인 기호로 받아들이고 계산을 밀어붙이면 허수부가 끝에서 상쇄되며 진짜 실근이 나온다.

Example (Bombelli, 1572). $x^3=15x+4$, 즉 $p=-15$, $q=-4$의 경우 $R=\dfrac{16}{4}+\dfrac{(-15)^3}{27}=4-125=-121$이므로 $\sqrt{R}=\sqrt{-121}=11i$이고

\[x = \sqrt[3]{2+11i} + \sqrt[3]{2-11i}\]

이다. Bombelli는 $\sqrt[3]{2+11i}=2+i$라고 짐작했는데, 실제로 $(2+i)^3 = 8+12i+6i^2+i^3 = 8+12i-6-i = 2+11i$로 맞아떨어진다. 켤레도 $\sqrt[3]{2-11i}=2-i$이므로 $x=(2+i)+(2-i)=4$이고, $4^3=64=15\cdot4+4$이니 정말로 근이다. 허수는 중간 계산에만 나타났다가 깨끗이 사라졌다. Bombelli는 1572년 《Algebra》에서 이런 “불가능한 수”들의 사칙연산 규칙을 처음 체계적으로 정리해 실제 계산의 도구로 삼았다 [2].

이차방정식에서는 음수의 판별식이 그저 “실근 없음”을 뜻해 무시하면 그만이지만, 삼차방정식에서는 원하는 실근이 버젓이 존재하는데도 복소수를 반드시 통과해야 한다. 수학이 복소수를 진지하게 받아들이기 시작한 진짜 출발점이 여기다.

복소수는 흔히 “$\sqrt{-1}$을 $i$라 부르자”로 도입되지만, 과연 그런 대상이 정말 존재하는가? Hamilton은 1837년에 복소수를 실수 순서쌍으로 못박고, 곱셈을 규칙으로 정하는 것으로 복소수를 정의했다 [8].

Definition (Complex Numbers). $\mathbb{C}$는 실수 순서쌍 $(a,b)$ 전체의 집합 $\mathbb{R}^2$에 다음 덧셈과 곱셈을 준 것이다. \((a,b)+(c,d):=(a+c,\ b+d), \qquad (a,b)\cdot(c,d):=(ac-bd,\ ad+bc).\) $(a,0)$을 실수 $a$와 동일시하고 $i:=(0,1)$로 쓰면 $i^2=(0,1)(0,1)=(-1,0)=-1$이고, 임의의 $(a,b)$는 $(a,0)+(b,0)(0,1)=a+bi$로 쓰인다. $a=\operatorname{Re}z$를 실수부, $b=\operatorname{Im}z$를 허수부라 한다.

Theorem. $\mathbb{C}$ is a field.

Proof. 덧셈과 곱셈이 교환·결합·분배법칙을 만족함은 정의를 성분으로 풀면 실수의 사칙연산으로 귀착된다. 덧셈 항등원은 $0=(0,0)$, 곱셈 항등원은 $1=(1,0)$이다. $z=a+bi\ne0$이면 $a^2+b^2>0$이고

\[z^{-1} = \frac{a-bi}{a^2+b^2}\]

이 $zz^{-1}=1$을 만족하므로 곱셈 역원이 존재한다. $\blacksquare$

켤레와 절댓값

Definition (Conjugate, Modulus). $z=a+bi$의 켤레(conjugate)는 $\bar z:=a-bi$, 절댓값(modulus)은 $\vert z\vert:=\sqrt{a^2+b^2}$이다.

정의에서 곧바로 $z\bar z=a^2+b^2=\vert z\vert^2$, $\operatorname{Re}z=\tfrac12(z+\bar z)$, $\operatorname{Im}z=\tfrac1{2i}(z-\bar z)$가 나온다.

Proposition (기본 성질). For all $z,w\in\mathbb{C}$:

  1. $\overline{z+w}=\bar z+\bar w$ and $\overline{zw}=\bar z\,\bar w$.
  2. $\vert zw\vert=\vert z\vert\,\vert w\vert$.
  3. (Triangle inequality) $\vert z+w\vert\le\vert z\vert+\vert w\vert$.

Proof. (1)은 성분 계산에서 바로 나온다. (2)는 (1)을 써서 $\vert zw\vert^2=zw\overline{zw}=zw\bar z\bar w=(z\bar z)(w\bar w)=\vert z\vert^2\vert w\vert^2$이다. (3)은 $\operatorname{Re}\zeta\le\vert\zeta\vert$와 $\vert\bar w\vert=\vert w\vert$를 써서

\[\vert z+w\vert^2 = (z+w)\overline{(z+w)} = \vert z\vert^2 + 2\operatorname{Re}(z\bar w) + \vert w\vert^2 \le \vert z\vert^2 + 2\vert z\vert\vert w\vert + \vert w\vert^2 = \big(\vert z\vert+\vert w\vert\big)^2\]

이고 양변에 제곱근을 취하면 된다. $\blacksquare$

절댓값 $\vert z\vert$은 $\mathbb{C}=\mathbb{R}^2$ 위의 평범한 유클리드 거리이고, 두 복소수 사이의 거리는 $\vert z-w\vert$이다. 즉 복소수의 대수 구조와 평면의 기하 구조가 한 몸이다.

복소평면과 극형식

$z=a+bi$를 평면 위의 점 $(a,b)$로 보는 그림을 복소평면(complex plane)이라 한다. 이 기하적 표현은 Wessel이 1799년에 [5], 이어 Argand가 1806년에 [6] 제시했고, Gauss가 널리 퍼뜨리며 “복소수(complex number)”라는 이름을 정착시켰다.

극좌표를 쓰면 $z\ne0$은 $r=\vert z\vert$과 각 $\theta$로

\[z = r(\cos\theta + i\sin\theta)\]

로 쓰인다. 이 $\theta$를 $z$의 편각(argument) $\arg z$라 한다. 극형식에서 곱셈의 뜻이 선명해진다.

Proposition. $z_1=r_1(\cos\theta_1+i\sin\theta_1)$, $z_2=r_2(\cos\theta_2+i\sin\theta_2)$이면 \(z_1z_2 = r_1r_2\big(\cos(\theta_1+\theta_2) + i\sin(\theta_1+\theta_2)\big).\)

Proof. 곱을 전개하고 코사인·사인의 덧셈정리 $\cos\theta_1\cos\theta_2-\sin\theta_1\sin\theta_2=\cos(\theta_1+\theta_2)$, $\sin\theta_1\cos\theta_2+\cos\theta_1\sin\theta_2=\sin(\theta_1+\theta_2)$를 쓰면 된다. $\blacksquare$

즉 복소수 $z$를 곱하는 것은 평면을 $\arg z$만큼 회전하고 $\vert z\vert$배 확대하는 변환이다.

Euler’s Formula

지수함수를 복소수까지 넓히면 극형식이 한결 깔끔해진다. 급수 $\sum_{n=0}^\infty z^n/n!$은 $\sum \vert z\vert^n/n!<\infty$이므로 모든 복소수 $z$에서 절대수렴하고, 이를 $e^z$로 정의한다. 순허수 $z=i\theta$를 넣고 $i$의 거듭제곱이 $1,i,-1,-i$를 주기적으로 도는 것을 이용해 실수부와 허수부로 나누면 다음을 얻는다.

Theorem (Euler’s Formula). For every $\theta\in\mathbb{R}$, \(e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta.\)

Proof. 절대수렴하므로 항의 순서를 재배열해 짝수 차수와 홀수 차수로 나눌 수 있다. $i^{2k}=(-1)^k$, $i^{2k+1}=(-1)^k i$이므로

\[e^{i\theta} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(i\theta)^n}{n!} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k\theta^{2k}}{(2k)!} + i\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k\theta^{2k+1}}{(2k+1)!} = \cos\theta + i\sin\theta\]

인데, 마지막 두 급수는 각각 $\cos\theta$, $\sin\theta$의 Taylor 급수다. $\blacksquare$

$\theta=\pi$를 넣으면 $e^{i\pi}+1=0$이라는 유명한 항등식이 나온다. 극형식은 이제 $z=re^{i\theta}$로 짧아지고, 곱셈의 회전 성질은 지수법칙 $e^{i\theta_1}e^{i\theta_2}=e^{i(\theta_1+\theta_2)}$ 그 자체가 된다. 이 표기와 급수를 통한 복소지수의 취급은 Euler가 1748년 《Introductio in analysin infinitorum》에서 확립했다 [4].

Corollary (de Moivre’s Theorem). For every integer $n$, \((\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta).\)

Proof. $e^{i\theta}$의 극형식에 지수법칙을 반복 적용하면 $(e^{i\theta})^n=e^{in\theta}$이다. $\blacksquare$

이 등식은 de Moivre가 18세기 초에 사실상 알고 있던 것으로, Euler의 공식이 그 배경을 한눈에 설명해준다 [3].

대수학의 기본정리

실수 위에서는 $x^2+1=0$처럼 근이 없는 다항식이 있다. 복소수로 넓히면 이런 결핍이 완전히 사라진다.

Theorem (Fundamental Theorem of Algebra). Every nonconstant polynomial with complex coefficients has a root in $\mathbb{C}$. Equivalently, a degree-$n$ complex polynomial factors as $a\prod_{k=1}^n(z-\alpha_k)$ into linear factors, counted with multiplicity.

이것을 두고 $\mathbb{C}$가 대수적으로 닫혔다(algebraically closed)고 한다. 증명은 여러 가지가 있으나 모두 이 글의 도구를 넘어선다(복소해석의 Liouville 정리를 쓰는 것이 가장 짧고, 위상적·대수적 증명도 있다). 널리 받아들여진 첫 증명은 Gauss가 1799년 박사학위 논문에서 주었는데 [7], 여기에도 뒤에 메워야 할 위상적 간극이 있었다. 그보다 앞서 d’Alembert가 1746년에 시도한 증명도 있어 이 정리를 d’Alembert–Gauss 정리라 부르기도 한다 [9]. 완전한 증명은 복소해석 글로 미룬다.

참고문헌

  1. Cardano, G. (1545). Artis magnae, sive de regulis algebraicis liber unus (Ars Magna). Nürnberg.
  2. Bombelli, R. (1572). L’Algebra. Bologna.
  3. de Moivre, A. (1730). Miscellanea Analytica de Seriebus et Quadraturis. London.
  4. Euler, L. (1748). Introductio in analysin infinitorum. Lausanne.
  5. Wessel, C. (1799). Om Directionens analytiske Betegning. Nye Samling af det Kongelige Danske Videnskabernes Selskabs Skrifter, 5, 469–518.
  6. Argand, J.-R. (1806). Essai sur une manière de représenter les quantités imaginaires dans les constructions géométriques. Paris.
  7. Gauss, C. F. (1799). Demonstratio nova theorematis omnem functionem algebraicam rationalem integram unius variabilis in factores reales primi vel secundi gradus resolvi posse. Helmstedt.
  8. Hamilton, W. R. (1837). Theory of Conjugate Functions, or Algebraic Couples; with a Preliminary and Elementary Essay on Algebra as the Science of Pure Time. Transactions of the Royal Irish Academy, 17, 293–422.
  9. d’Alembert, J. le R. (1746). Recherches sur le calcul intégral. Histoire de l’Académie royale des sciences et belles-lettres de Berlin, 2, 182–224.