Endomorphism과 $GL(V)$

Definition (Group). 집합 $G$와 연산 $\cdot:G\times G\to G$가 결합법칙 $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c)$를 만족하고, 항등원 $e\in G$가 존재해 모든 $g\in G$에서 $g\cdot e=e\cdot g=g$이며, 각 $g\in G$마다 역원 $g^{-1}\in G$가 존재해 $g\cdot g^{-1}=g^{-1}\cdot g=e$이면 $(G,\cdot)$를 group이라 한다. 교환법칙은 요구하지 않는다.

Definition (Subgroup). group $G$의 부분집합 $H\subseteq G$가 같은 연산으로 그 자체가 group을 이루면 $H$를 $G$의 subgroup이라 한다.

Definition (Endomorphism, General Linear Group). $V$에서 자기 자신으로 가는 linear map 전체 \(\operatorname{End}(V):=\mathcal{L}(V,V)\)를 $V$의 endomorphism이라 한다. 그중 invertible한 것 전체 \(GL(V):=\{\,T\in\operatorname{End}(V):T\text{ is invertible}\,\}\)를 $V$의 general linear group이라 한다. $GL(V)$는 합성을 연산으로 group을 이룬다(결합법칙은 자명하고, 항등원은 $\operatorname{id}$, $T\in GL(V)$의 역원은 $T^{-1}$).

Definition ($GL_n(F)$). 성분이 $F$에 속하는 invertible $n\times n$ 행렬 전체 \(GL_n(F):=\{\,A\in F^{n\times n}:A\text{ is invertible}\,\}\)도 행렬곱을 연산으로 group을 이루며, 이를 general linear group이라 한다.

Proposition. $\dim V=n$이면, 기저를 하나 고정한 행렬 표현 $T\mapsto[T]$가 $GL(V)\cong GL_n(F)$인 group isomorphism을 준다.

determinant가 $1$인 원소들만 모으면 $GL$ 안의 subgroup이 된다.

Definition (Special Linear Group). \(SL_n(F):=\{\,A\in GL_n(F):\det A=1\,\}\)를, 유한차원 $V$에서는 \(SL(V):=\{\,T\in GL(V):\det T=1\,\}\)를 special linear group이라 한다.

Proposition. $SL_n(F)$는 $GL_n(F)$의 subgroup이다.

Example (shear는 언제나 $SL_2$). 임의의 $t\in\mathbb{R}$에서 shear 행렬 \(\begin{pmatrix}1&t\\0&1\end{pmatrix}\)은 determinant가 $1\cdot1-t\cdot0=1$이라 항상 $SL_2(\mathbb{R})$에 속한다. 회전 행렬도 determinant가 $\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$이라 $SL_2(\mathbb{R})$에 속하지만, $2$배로 늘리는 $2I$는 determinant가 $4$라 속하지 않는다. $SL_2(\mathbb{R})$은 넓이와 방향을 그대로 보존하는 선형변환들의 모임이다.

Idempotent

Definition (Idempotent). $T\in\operatorname{End}(V)$가 $T^2=T$를 만족하면 idempotent(또는 projection)라 한다.

Proposition. idempotent $T$에 대해 $\operatorname{im}T=\ker(\operatorname{id}-T)$이다.

Proof. $w=Tv\in\operatorname{im}T$이면 $(\operatorname{id}-T)w=Tv-T^2v=Tv-Tv=0$이라 $w\in\ker(\operatorname{id}-T)$이고, 역으로 $(\operatorname{id}-T)w=0$이면 $w=Tw\in\operatorname{im}T$이므로 $\operatorname{im}T=\ker(\operatorname{id}-T)$이다. $\blacksquare$

Proposition. $T$가 idempotent이면 $\operatorname{id}-T$도 idempotent다.

Proof. $(\operatorname{id}-T)^2=\operatorname{id}-2T+T^2=\operatorname{id}-2T+T=\operatorname{id}-T$이다. $\blacksquare$

Theorem. 유한차원에서 idempotent $T$는 diagonalizable이다.

Proof. 앞서 말한 direct sum $V=\operatorname{im}T\oplus\ker T$에서 $\operatorname{im}T$의 basis와 $\ker T$의 basis를 이어붙이면 $V$의 basis가 된다(직합과 기저 명제, Vector space 글). 이 basis에서 $T$는 $\operatorname{im}T$쪽 벡터를 그대로 두고($Tw=w$) $\ker T$쪽 벡터를 $0$으로 보내므로, 행렬은 대각성분이 $1$(그 개수는 $\dim\operatorname{im}T$) 또는 $0$(그 개수는 $\dim\ker T$)인 diagonal 행렬이다. $\blacksquare$

사실 $Tv=\lambda v$($v\ne0$)이면 $\lambda v=Tv=T^2v=\lambda^2v$에서 $\lambda(\lambda-1)=0$이라, idempotent의 eigenvalue는 $0$ 또는 $1$뿐이다. 하지만 이것만으로는 $T$가 diagonalizable이라는 것까지는 안 나온다. 위 Theorem은 이보다 강한 사실을 준다: eigenvalue가 그 두 값으로 제한될 뿐 아니라, 실제로 그 두 eigenspace $\operatorname{im}T$(eigenvalue $1$)와 $\ker T$(eigenvalue $0$)만으로 공간 전체가 남김없이 분해되어 diagonalize된다.

Example (좌표축 projection). $\mathbb{R}^3$에서 $T(x,y,z)=(x,y,0)$은 $T^2=T$인 idempotent다. $\operatorname{im}T$는 $xy$평면, $\ker T$는 $z$축이고, 표준 basis 자체가 이미 이 direct sum에 맞춰 diagonal $\operatorname{diag}(1,1,0)$을 준다.

Involution

Definition (Involution). $T\in\operatorname{End}(V)$가 $T^2=\operatorname{id}$를 만족하면 involution이라 한다.

Proposition. involution $T$는 invertible이고 $T^{-1}=T$이다. 표수가 $2$가 아닌 체 위에서는 \(V=\ker(T-\operatorname{id})\oplus\ker(T+\operatorname{id})\)이다.

Proof. $T\circ T=\operatorname{id}$가 그대로 $T^{-1}=T$를 준다. 임의의 $v$를 \(v=\frac{v+Tv}{2}+\frac{v-Tv}{2}\)로 쓰면(표수가 $2$가 아니라 $2$로 나눌 수 있다), $T\big(\frac{v+Tv}{2}\big)=\frac{Tv+T^2v}{2}=\frac{Tv+v}{2}$라 첫 항이 $\ker(T-\operatorname{id})$에 있고, $T\big(\frac{v-Tv}{2}\big)=\frac{Tv-v}{2}=-\frac{v-Tv}{2}$라 둘째 항이 $\ker(T+\operatorname{id})$에 있어 합이 $V$ 전체를 이룬다. $x$가 두 kernel에 모두 있으면 $Tx=x=-x$에서 $2x=0$인데 표수가 $2$가 아니므로 $x=0$이다. $\blacksquare$

Example (반사). $\mathbb{R}^2$에서 직선 $y=x$에 대한 반사 $T(x,y)=(y,x)$는 $T^2=\operatorname{id}$인 involution이다. $\ker(T-\operatorname{id})$는 그 직선 자신이고 $\ker(T+\operatorname{id})$는 그에 수직인 직선이다.

Theorem. 표수가 $2$가 아닌 체 위의 유한차원에서 involution은 diagonalizable이다.

Proof. 위 direct sum $V=\ker(T-\operatorname{id})\oplus\ker(T+\operatorname{id})$에서 두 basis를 이어붙이면 $V$의 basis가 되고, 이 basis에서 $T$는 $\ker(T-\operatorname{id})$쪽을 그대로($1$배), $\ker(T+\operatorname{id})$쪽을 $-1$배로 보내므로 행렬이 대각성분이 $1$ 또는 $-1$인 diagonal 행렬이다. $\blacksquare$

Nilpotent

Definition (Nilpotent). $T\in\operatorname{End}(V)$에 대해 어떤 양의 정수 $k$에서 $T^k=0$이면 $T$를 nilpotent라 하고, 그런 $k$ 중 가장 작은 것을 $T$의 nilpotency index라 한다.

Proposition. \(V\ne\{0\}\)이 유한차원이고 $T\ne0$이 nilpotent이면 $T$는 invertible이 아니다. 또 임의의 스칼라 $c\ne0$에서 $T-cI$는 invertible이다.

Proof. $T$가 invertible이면 $T^k$도 invertible인데 $T^k=0$은 \(V\ne\{0\}\)에서 invertible이 아니므로 모순이다. 이제 $c\ne0$이고 $(T-cI)v=0$, 곧 $Tv=cv$라 하면 반복해서 $T^kv=c^kv$인데 $T^k=0$이고 $c^k\ne0$이므로 $v=0$이다. 곧 \(\ker(T-cI)=\{0\}\)이라 $T-cI$는 injective이고, 유한차원에서 injective operator는 rank-nullity로 invertible이다. $\blacksquare$

곧 nilpotent operator의 eigenvalue는 $0$ 하나뿐이다(idempotent가 $0,1$뿐이었던 것과 대구를 이룬다).

Example (미분 연산자). 차수 $n$ 이하 다항식 공간 $P_n$ 위의 미분 $D$는 $D^{n+1}=0$이라 nilpotent이고, nilpotency index는 $n+1$이다.

nilpotency index는 하나의 벡터를 반복해 얻는 사슬의 길이로도 나타난다.

Proposition (chain의 일차독립). $N\ne0$이 nilpotent이고 nilpotency index가 $m$이면, $N^{m-1}x\ne0$인 $x$가 존재하고, 그런 $x$에 대해 $x,Nx,\dots,N^{m-1}x$는 linearly independent이다.

Proof. $m$이 최소이므로 $N^{m-1}\ne0$이라 $N^{m-1}x\ne0$인 $x$가 있다. $\sum_{i=0}^{m-1}c_iN^ix=0$이라 하자. 양변에 $N^{m-1}$을 적용하면 $i\ge1$인 항은 $N^{m-1+i}x=0$(지수가 $m$ 이상)으로 사라져 $c_0N^{m-1}x=0$만 남는데 $N^{m-1}x\ne0$이라 $c_0=0$이다. 남은 $\sum_{i=1}^{m-1}c_iN^ix=0$에 $N^{m-2}$를 적용하면 같은 방식으로 $c_1=0$을 얻고, 이를 반복하면 모든 $c_i=0$이다. $\blacksquare$

Proposition. 유한차원 $V$($\dim V=n$)의 nilpotent $N$은 $N^n=0$을 만족한다.

Proof. $N=0$이면 자명하다. $N\ne0$이고 nilpotency index가 $m$이면 위 Proposition으로 $x,Nx,\dots,N^{m-1}x$가 $m$개의 linearly independent한 벡터라 $m\le n$이고, 그러므로 $N^n=N^{n-m}N^m=0$이다. $\blacksquare$

nilpotent는 basis를 잘 고르면 대각선 위쪽에만 성분이 남는 행렬로도 나타난다(대각성분까지 포함해 $0$이라는 점에서 diagonalizable과는 정반대다).

Proposition (nilpotent와 strictly upper triangular). 유한차원 $V$($\dim V=n$)의 nilpotent $N$에 대해, 어떤 basis $v_1,\dots,v_n$에서 $N$의 행렬은 strictly upper triangular이다(대각을 포함해 대각 아래 성분이 모두 $0$).

Proof. $\dim V$에 대한 귀납. $N=0$이면 임의의 basis에서 행렬이 $0$이라 자명하다. $N\ne0$이면 위 Proposition으로 invertible이 아니므로 \(\ker N\ne\{0\}\)이고, 따라서 $\dim\operatorname{im}N=n-\dim\ker N<n$이다. $U:=\operatorname{im}N$은 $N(U)=N(NV)=N^2V\subseteq NV=U$라 $N$이 $U$ 안으로 다시 들어가므로 $N\vert_U:U\to U$가 잘 정의되고, $(N\vert_U)^k=N^k\vert_U=0$(충분히 큰 $k$)이라 이 역시 nilpotent다. $\dim U<n$이므로 귀납 가정으로 $U$의 basis $u_1,\dots,u_r$($r=\dim U$)를 각 $i$에서 $Nu_i\in\operatorname{span}(u_1,\dots,u_{i-1})$이 되도록 잡을 수 있다. 이를 $V$의 basis $u_1,\dots,u_r,w_1,\dots,w_{n-r}$로 확장하면, 각 $w_j$에서 $Nw_j\in NV=U=\operatorname{span}(u_1,\dots,u_r)$이므로 $v_i:=u_i$($i\le r$), $v_{r+j}:=w_j$로 둔 basis에서 모든 $i$에 $Nv_i\in\operatorname{span}(v_1,\dots,v_{i-1})$이 성립한다. 이는 $[N]$의 $i$번째 열이 $i$번째 행부터 아래로 전부 $0$이라는 것, 곧 strictly upper triangular라는 뜻이다. $\blacksquare$

Invariant subspace

$U:=\operatorname{im}N$이 다시 $N$ 안으로 들어간다는 위 증명의 관찰은 일반적인 현상이다.

Definition (Invariant Subspace, Restriction). subspace $W\subseteq V$가 $AW\subseteq W$를 만족하면 $A$-invariant라 하고, $W$ 위에서 $A$가 정하는 operator $A\vert_W$를 $A$의 $W$로의 restriction이라 한다.

$A$-invariant인 부분공간이 하나만 있어도 그 basis를 확장한 기저에서 행렬이 정리된 모양을 얻는다.

Proposition (invariant subspace와 block-triangular). $W\subseteq V$가 $A$-invariant이면, $W$의 basis를 $V$의 basis로 확장한 기저에서 $A$의 행렬은 \(\begin{pmatrix}B&C\\0&D\end{pmatrix}\) 꼴(block upper triangular)이고, 왼쪽 위 block $B$가 $A\vert_W$의 행렬이다.

Proof. $W$의 basis $w_1,\dots,w_k$를 $V$의 basis $w_1,\dots,w_k,u_1,\dots,u_r$로 확장하자. $W$가 $A$-invariant이므로 각 $Aw_i\in W$이고, 따라서 이를 $V$의 이 기저로 전개할 때 $u_j$ 성분이 전혀 없다. 곧 행렬의 처음 $k$개 열은 아래쪽 $r$개 행이 모두 $0$이라 왼쪽 아래 block이 $0$인 block upper triangular 꼴이 되고, 왼쪽 위 $k\times k$ block은 각 $Aw_i$를 $w_1,\dots,w_k$만으로 전개한 계수, 곧 $A\vert_W$의 행렬 그 자체다. $\blacksquare$

공간이 여러 invariant subspace의 direct sum으로 쪼개지면 행렬이 block-diagonal이 된다.

Lemma (invariant 분해와 block-diagonal). $V=\bigoplus_jW_j$이고 각 $W_j$가 $A$-invariant이면, 이 분해에 맞춘 basis에서 $A$의 행렬은 대각 block이 $A\vert_{W_j}$인 block-diagonal이다.

Proof. 각 $W_j$의 basis를 이어 붙여 $V$의 basis로 삼는다. $W_j$가 $A$-invariant라 그 basis 벡터의 상이 다시 $W_j$ 안에 있으므로, 이 basis에서 $A$의 행렬은 대각 위치에 $A\vert_{W_j}$의 행렬을 놓고 다른 block 자리는 $0$인 block-diagonal이다. $\blacksquare$

Perron theorem

Definition (Positive Matrix). 모든 성분이 양수인 행렬을 $A>0$이라 쓴다. $x\ge0$은 모든 성분이 $\ge0$, $x>0$은 모든 성분이 $>0$을 뜻한다.

Definition (Spectral Radius). 정사각행렬 $A$의 eigenvalue들의 절댓값의 최댓값을 $A$의 spectral radius라 하고 $\rho(A)$로 쓴다.

Theorem (Perron). $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$이 $A>0$이면 다음이 성립한다.

  • (i) $A$는 eigenvalue $\rho>0$과 그에 대한 eigenvector $v>0$을 가진다.
  • (ii) $\rho$는 $A$의 spectral radius다, 곧 $\rho=\rho(A)$다: $A$의 임의의 eigenvalue $\lambda$에서 $\rho\ge\vert\lambda\vert$.
  • (iii) $\vert\lambda\vert=\rho$인 $A$의 eigenvalue $\lambda$는 $\lambda=\rho$뿐이다(곧 $\rho$가 절댓값이 가장 큰 유일한 eigenvalue다).
  • (iv) $\rho$는 simple eigenvalue이다.
  • (v) $A$의 eigenvector 중 양수인 것은 스칼라배를 제외하면 $v$뿐이다.

Proof. \(\Delta:=\Big\{x\in\mathbb{R}^n:x\ge0,\ \sum_ix_i=1\Big\}\)(simplex)는 컴팩트다(Heine–Borel). $x\in\Delta$에 대해 \(f(x):=\min\{(Ax)_i/x_i : x_i>0\}\)로 정의하자($x\ne0$이라 이 min은 공집합이 아닌 유한집합 위에서 취해져 잘 정의된다).

$f$가 $\Delta$ 위에서 upper semicontinuous임을 보이자(Semicontinuity 글). $x^{(k)}\to x$라 하자. $f(x)$를 이루는 첨자를 $i_0$라 하면($x_{i_0}>0$이고 \(f(x)=\frac{(Ax)_{i_0}}{x_{i_0}}\)), $x^{(k)}{i_0}\to x{i_0}>0$이라 충분히 큰 $k$에서 $x^{(k)}{i_0}>0$이고 \(f(x^{(k)})\le\frac{(Ax^{(k)})_{i_0}}{x^{(k)}_{i_0}}\longrightarrow\frac{(Ax)_{i_0}}{x_{i_0}}=f(x)\)이다(연속성, $x{i_0}>0$이므로). 곧 $\limsup_kf(x^{(k)})\le f(x)$라 $f$는 upper semicontinuous다.

$f$는 위로 유계다: 임의의 $x\in\Delta$에서(pigeonhole로) 어떤 $i$가 $x_i\ge1/n$을 만족하고 $M:=\max_{a,b}A_{ab}$라 하면 \(\frac{(Ax)_i}{x_i}\le\frac{M\sum_jx_j}{1/n}=Mn\)이므로 $f(x)\le Mn$이다.

컴팩트 집합 위 upper semicontinuous 함수는 최댓값을 가지므로(Semicontinuity 글, EVT의 확장) \(\rho:=\max_\Delta f=f(v)\)인 $v\in\Delta$가 있다.

$Av=\rho v$임을 보이자. $f$의 정의에서 $v_i>0$인 모든 $i$에서 \((Av)_i\ge\rho v_i\)이고, $v_i=0$인 $i$에서는 $A>0$과 $v\ge0,v\ne0$이라 \((Av)_i>0=\rho v_i\)이므로, 어느 경우든 $Av\ge\rho v$(성분별)이다. $Av\ne\rho v$라면 $w:=Av-\rho v\ge0$, $w\ne0$이라 $Aw>0$(성분별)이고, $u:=Av>0$(성분별)에 대해 \(Au-\rho u=A(Av-\rho v)=Aw>0\)이라 모든 $i$에서 \(\frac{(Au)_i}{u_i}>\rho\)($u_i>0$이라 나눌 수 있다), 곧 $f(u)>\rho$다. $f$는 양의 배율에 무관하므로($f(cx)=f(x)$, $c>0$) $u/\lVert u\rVert_1\in\Delta$에서도 $f(u/\lVert u\rVert_1)=f(u)>\rho$인데, 이는 $\rho=\max_\Delta f$에 모순이다. 그러므로 $Av=\rho v$다. $\rho>0$이고 $Av=\rho v>0$이므로 $v>0$이다. (i)가 증명되었다.

(ii) $Az=\lambda z$($z\ne0$, 일반적으로 복소수)이라 하자. 각 성분에서 삼각부등식으로 \(\vert\lambda\vert\,\vert z_i\vert=\Big\vert\sum_jA_{ij}z_j\Big\vert\le\sum_jA_{ij}\vert z_j\vert=(A\vert z\vert)_i\)이므로 $A\vert z\vert\ge\vert\lambda\vert\,\vert z\vert$(성분별)이고, 곧 $f(\vert z\vert/\lVert z\rVert_1)\ge\vert\lambda\vert$다. $\rho=\max_\Delta f\ge f(\vert z\vert/\lVert z\rVert_1)\ge\vert\lambda\vert$이다.

(iii) $\vert\lambda\vert=\rho$라 하자. (ii)에서 $A\vert z\vert\ge\rho\vert z\vert$인데 $f(\vert z\vert/\lVert z\rVert_1)\ge\rho=\max_\Delta f$이므로 등호, 곧 $f(\vert z\vert/\lVert z\rVert_1)=\rho$다. (i)에서 쓴 “otherwise” 논증(그 논증은 $f$가 $\rho$에서 최댓값을 가지는 임의의 점에 그대로 적용된다)을 $\vert z\vert/\lVert z\rVert_1$에 적용하면 $A\vert z\vert=\rho\vert z\vert$까지 나온다(등호). 그러면 모든 $i$에서 \(\vert\lambda\vert\,\vert z_i\vert=\rho\vert z_i\vert=(A\vert z\vert)_i=\sum_jA_{ij}\vert z_j\vert=\Big\vert\sum_jA_{ij}z_j\Big\vert\)로 삼각부등식이 등호가 되고, $A_{ij}>0$이 모든 $j$에서 성립하므로(등호 조건) $z_1,\dots,z_n$은 모두 같은 복소수 argument를 가진다: 어떤 $\theta$에서 $z=e^{i\theta}\vert z\vert$다. $Az=\lambda z$에 대입하면 $A\vert z\vert=\lambda\vert z\vert$인데 이미 $A\vert z\vert=\rho\vert z\vert$이고 $\vert z\vert\ne0$이므로 $\lambda=\rho$다.

(iv) 먼저 $\rho$의 (실수) eigenspace가 $1$차원임을 보이자. $v$ 말고 $\rho$의 다른 실수 eigenvector $v_2$가 $v$와 일차독립이라 하자(복소수 eigenvector가 있어도 $\rho$가 실수이므로 그 실수부·허수부가 다시 $\rho$의 실수 eigenvector라 실수인 경우만 보면 충분하다). \(t^*:=\sup\{t\in\mathbb{R}:v-tv_2\ge0\}\)로 두면 $v>0$이라 $t=0$ 근방에서 $v-tv_2>0$이고, $v_2$가 $v$의 배수가 아니므로 이 집합은 위로 유계다. $w:=v-t^\ast v_2$는 $\rho$의 eigenvector이고(두 eigenvector의 일차결합) $w\ge0$이며, $w=0$이면 $v=t^\ast v_2$로 일차독립에 모순이라 $w\ne0$이다. $A>0$에서 \((Aw)_i=\sum_jA_{ij}w_j>0\)(어떤 $j$에서 $w_j>0$이므로)이라 $Aw>0$, 곧 $\rho w=Aw>0$이라 $w>0$이다. 그런데 $w$의 모든 성분이 양수라면 $t^\ast $보다 조금 큰 $t$에서도 $v-tv_2\ge0$이 유지되어 $t^\ast $가 상한이라는 데 모순이다. 그러므로 그런 $v_2$는 없고, $\rho$의 eigenspace는 $v$가 span하는 $1$차원이다.

다음으로 $v\notin\operatorname{im}(A-\rho I)$임을 보이자. $A^{\mathsf T}$도 성분이 모두 양수이므로 (i)-(iii)을 $A^{\mathsf T}$에 적용하면 $A^{\mathsf T}u=\rho’u$, $u>0$인 eigenvalue $\rho’>0$이 나온다. $\det(A^{\mathsf T}-xI)=\det((A-xI)^{\mathsf T})=\det(A-xI)$(Determinant 글)이라 $A^{\mathsf T}$와 $A$는 characteristic polynomial이 같고, 그중 절댓값이 가장 큰 실수 eigenvalue는 (iii)로 유일하므로 $\rho’=\rho$다. 만약 어떤 $z$가 $(A-\rho I)z=v$를 만족한다면, $u^{\mathsf T}A=(A^{\mathsf T}u)^{\mathsf T}=\rho u^{\mathsf T}$이므로 \(u^{\mathsf T}(A-\rho I)z=u^{\mathsf T}Az-\rho u^{\mathsf T}z=\rho u^{\mathsf T}z-\rho u^{\mathsf T}z=0\)인데, 좌변은 정의상 $u^{\mathsf T}v$이고 $u>0,v>0$이라 \(u^{\mathsf T}v=\sum_iu_iv_i>0\)이므로 모순이다. 그러므로 $v\notin\operatorname{im}(A-\rho I)$다.

geometric multiplicity가 $1$인 eigenvalue에서 이 조건(eigenvector가 $A-\rho I$의 image에 들어가지 않는 것)이 정확히 algebraic multiplicity도 $1$, 곧 $\rho$가 simple eigenvalue라는 것과 동치임은 Jordan form을 다루는 다음 글에서 정확히 정당화된다. (iv)가 증명되었다.

(v) $Az=\lambda z$, $z>0$(실수)이라 하자. $u^{\mathsf T}Az=\lambda u^{\mathsf T}z$인데 동시에 $u^{\mathsf T}Az=(A^{\mathsf T}u)^{\mathsf T}z=\rho u^{\mathsf T}z$이므로 $(\rho-\lambda)u^{\mathsf T}z=0$이고, $u>0,z>0$이라 \(u^{\mathsf T}z=\sum_iu_iz_i>0\ne0\)이므로 $\lambda=\rho$다. 즉 양수인 eigenvector는 반드시 $\rho$의 eigenspace에 속하는데, 그 eigenspace가 $1$차원임은 (iv)에서 이미 보였으므로 $v$의 (양의) 스칼라배뿐이다. $\blacksquare$

Example. \(A=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}\)(모든 성분이 양수)는 Eigenvalue and diagonalization 글에서 이미 다룬 행렬로, eigenvalue $1,3$과 eigenvector $(1,-1),(1,1)$을 가진다. Perron root는 절댓값이 더 큰 $\rho=3$이고, 그 eigenvector $(1,1)$은 실제로 모든 성분이 양수다.

Oskar Perron이 1907년 양의 성분을 가진 행렬에서 이 정리를 증명했고 [1], Georg Frobenius가 1912년 (양수 대신 음이 아니고 “irreducible”인 조건까지 완화해) 일반화했다 [2]. irreducible nonnegative matrix까지 다루는 완전한 Frobenius의 정리는 그 조건을 서술하는 graph 이론적 언어가 필요해 이 글에서는 다루지 않는다.

$(I-A)^{-1}=\sum_{k=0}^\infty A^k$라는 꼴은 스칼라의 등비급수 $\frac{1}{1-a}=\sum_{k=0}^\infty a^k$($\vert a\vert<1$)를 행렬로 그대로 옮긴 것이다. 이렇게 연산자(행렬)의 거듭제곱 급수로 $(I-T)^{-1}$을 표현하는 방법을 Neumann series라 부르는데, Carl Neumann이 1877년 potential theory(Dirichlet 문제)를 다루면서 도입했다 [3].

Theorem (Neumann Series). $A>0$인 정사각행렬에 대해, $(I-A)^{-1}$이 존재하고 모든 성분이 $\ge0$인 것은 $A$의 spectral radius $\rho(A)<1$인 것과 동치다. 이때 \((I-A)^{-1}=\sum_{k=0}^\infty A^k\)(성분별로 수렴)이다.

Proof. ($\Leftarrow$) $\rho(A)<1$이라 하자. $A$의 모든 eigenvalue $\lambda$가 $\vert\lambda\vert\le\rho(A)<1$이라 $1$은 eigenvalue가 아니므로 $\det(I-A)=\prod_i(1-\lambda_i)\ne0$, 곧 $I-A$는 invertible이다.

부분합 $S_N:=\sum_{k=0}^NA^k\ge0$(성분별, $A>0$의 거듭제곱과 합이므로)을 보자. Perron eigenvector $v>0$($Av=\rho v$, $\rho=\rho(A)<1$)을 쓰면 \(S_Nv=\sum_{k=0}^NA^kv=\Big(\sum_{k=0}^N\rho^k\Big)v\le\frac{v}{1-\rho}\)이다(실수 등비급수, $\rho<1$). $v>0$이고 $S_N\ge0$이므로 각 성분에서 \((S_N)_{ij}v_j\le\sum_k(S_N)_{ik}v_k=(S_Nv)_i\le\frac{v_i}{1-\rho},\) 곧 \((S_N)_{ij}\le\frac{v_i}{(1-\rho)v_j}\)로 $N$에 무관하게 유계다. $S_N$의 각 성분은 $N$에 대해 단조증가($A^k\ge0$이라 더할수록 커진다)하고 유계이므로 수렴한다(단조수렴정리, 수열의 극한 글). $S_N\to S\ge0$이라 하면 $A^{N+1}=S_{N+1}-S_N\to S-S=0$이고, $(I-A)S_N=I-A^{N+1}\to I$이므로 $(I-A)S=I$다. $I-A$가 이미 invertible이므로 $S=(I-A)^{-1}\ge0$이다.

($\Rightarrow$) $(I-A)^{-1}=:B\ge0$이 존재한다고 하자. Perron eigenvector $v>0$에서 $(I-A)v=(1-\rho)v$이므로 양변에 $B$를 곱하면 $v=(1-\rho)Bv$다. $Bv\ge0$(성분별)인데 $v>0$이라 \((1-\rho)(Bv)_i=v_i>0\)이 모든 $i$에서 성립해야 하므로 \((Bv)_i>0\)이고(그렇지 않으면 $v_i\le0$이 되어 모순) $1-\rho$는 모든 $i$에서 같은 부호(양수)여야 한다. 곧 $\rho<1$이다. $\blacksquare$

참고문헌

  1. Perron, O. (1907). Zur Theorie der Matrices. Mathematische Annalen, 64, 248–263.
  2. Frobenius, G. (1912). Über Matrizen aus nicht negativen Elementen. Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften, 456–477.
  3. Neumann, C. (1877). Untersuchungen über das logarithmische und Newton’sche Potential. Leipzig: B. G. Teubner.