Minimal polynomial

Definition (Minimal Polynomial). $p(A)=0$을 만족하는 monic polynomial 중 차수가 가장 낮은 것을 $A$의 minimal polynomial이라 하고 $m_A$로 쓴다.

Proposition (Divisibility). If $p(A)=0$ then $m_A\mid p$.

Proof. $p$를 $m_A$로 나눠 $p=qm_A+r$($\deg r<\deg m_A$)라 하면 $r(A)=p(A)-q(A)m_A(A)=0$인데, $m_A$가 최소 차수이므로 $r=0$이다. $\blacksquare$

Theorem. $m_A$ uniquely exists.

Proof. $A\in F^{n\times n}$에 대해 $n\times n$ 행렬들의 공간은 차원이 $n^2$이라, $I,A,A^2,\dots,A^{n^2}$의 $n^2+1$개가 linearly dependent이다. 따라서 $p(A)=0$인 $0$이 아닌 polynomial $p$가 존재한다. 그 중 차수가 minimal한 것이 $m_A$이다. 유일성은, 두 minimal polynomial이 서로를 나누고 둘 다 monic이라 같아진다는 데서 나온다.

Proposition (근과 eigenvalue). $m_A$의 근은 정확히 $A$의 eigenvalue다.

Proof. $Av=\lambda v$ ($v\ne0$)이면 $0=m_A(A)v=m_A(\lambda)v$라 $m_A(\lambda)=0$이다. 역으로 $m_A(\lambda)=0$이면 $m_A=(x-\lambda)q$인데 $\deg q<\deg m_A$라 $q(A)\ne0$이므로 $q(A)w\ne0$인 $w$가 있고, $(A-\lambda I)\,q(A)w=m_A(A)w=0$이라 $q(A)w$가 $\lambda$의 eigenvector다. 따라서 $\lambda$는 eigenvalue다. $\blacksquare$

Cayley–Hamilton 정리

minimal polynomial의 차수는 아직 알 수 없지만, characteristic polynomial $p_A(\lambda)=\det(A-\lambda I)$는 항상 $A$를 근으로 가진다.

Theorem (Cayley–Hamilton). 모든 정사각행렬 $A$에 대해 $p_A(A)=0$이다.

Proof. cofactor matrix 항등식을 $A-\lambda I$에 적용하자. $A-\lambda I$의 cofactor matrix를 $C(\lambda)$라 하면 $(A-\lambda I)\,C(\lambda)^{\mathsf T}=\det(A-\lambda I)\,I=p_A(\lambda)I$이다. $C(\lambda)^{\mathsf T}$는 성분이 $\lambda$에 대한 $n-1$차 이하 polynomial이라, 행렬 계수로 $C(\lambda)^{\mathsf T}=\sum_{k=0}^{n-1}\lambda^kB_k$로 쓸 수 있다. $p_A(\lambda)=\sum_{k=0}^{n}c_k\lambda^k$라 하면 위 항등식의 양변에서 $\lambda^k$의 계수를 비교해 \(AB_0=c_0I,\qquad AB_k-B_{k-1}=c_kI\ (1\le k\le n-1),\qquad -B_{n-1}=c_nI\) 를 얻는다. $k$번째 식에 왼쪽으로 $A^k$를 곱해 모두 더하면 좌변이 telescope로 상쇄되어 $0$이 되고, 우변은 $\sum_k c_kA^k=p_A(A)$이다. 그러므로 $p_A(A)=0$이다. $\blacksquare$

Corollary. $m_A\mid p_A$이다. 따라서 $\deg m_A\le n$이고, $m_A$와 $p_A$는 근(=eigenvalue)이 같다(multiplicity만 다를 수 있다).

Example ($2\times2$). $2\times2$ 행렬 \(A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\)의 characteristic polynomial은 $p_A(\lambda)=\lambda^2-(a+d)\lambda+(ad-bc)$이라, Cayley–Hamilton은 trace $a+d$와 determinant $ad-bc$로 적은 $A^2-(a+d)A+(ad-bc)I=0$을 준다. 구체적으로 \(A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}\)이면 $p_A(\lambda)=(1-\lambda)^2$이라 $(A-I)^2=0$을 주장하는데, 실제로 \((A-I)^2=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}^2=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}\)이다. 여기서는 $(A-I)\ne0$이므로 $m_A=(x-1)^2=p_A$이다.

이 정리는 Arthur Cayley가 1858년 행렬을 다룬 논문에서 진술하고 $2\times2$, $3\times3$의 경우를 손으로 확인한 데서 이름을 얻었는데, 그는 일반적인 경우의 증명은 “굳이 할 필요를 느끼지 못했다”고 적었다 [1]. William Rowan Hamilton은 그보다 앞서 quaternion을 다루며 관련된 특수한 경우에 이르렀고 [2], 일반적인 증명은 Georg Frobenius가 1878년에 주었다 [3].

Invariant subspace

Endomorphism and Perron–Frobenius 글에서 invariant subspace의 정의($AW\subseteq W$이면 $A$-invariant, $W$ 위의 restriction $A\vert_W$)와 그것이 주는 block-triangular 표현을 이미 다뤘다. restriction은 minimal polynomial과 characteristic polynomial을 모두 물려받는다.

Proposition (restriction의 minimal polynomial). $W$가 $A$-invariant이면 $m_{A\vert_W}\mid m_A$이다.

Proof. $W$가 $A$-invariant이라 $A\vert_W$의 거듭제곱은 $A$의 거듭제곱을 $W$로 제한한 것이고, 따라서 임의의 polynomial $q$에서 $q(A\vert_W)=q(A)\vert_W$이다. 여기에 $q=m_A$를 넣으면 $m_A(A)=0$이라 $m_A(A\vert_W)=m_A(A)\vert_W=0$, 곧 $m_A$가 $A\vert_W$를 소멸시킨다. minimal polynomial은 자신을 소멸시키는 polynomial을 모두 나누므로(divisibility), $A\vert_W$를 소멸시키는 $m_A$에 대해 $m_{A\vert_W}\mid m_A$이다. $\blacksquare$

Proposition (restriction의 characteristic polynomial). $W$가 $A$-invariant이면 $p_{A\vert_W}\mid p_A$이다.

Proof. block-triangular Proposition의 basis에서 $A$의 행렬이 \(\begin{pmatrix}B&C\\0&D\end{pmatrix}\) 꼴이고 $B$가 $A\vert_W$의 행렬이다. block triangular 행렬의 determinant는 대각 block들의 determinant의 곱이므로(Leibniz formula에서 왼쪽 아래 block을 지나는 permutation은 $0$인 성분을 지나 사라진다) \(p_A=\det(A-xI)=\det(B-xI)\det(D-xI)=p_{A\vert_W}\det(D-xI)\)이다. 곧 $p_{A\vert_W}\mid p_A$이다. $\blacksquare$

Diagonalizability Criterion

Lemma (coprime kernel). $p(A)=0$이고 $p=p_1p_2$, $\gcd(p_1,p_2)=1$이면 $V=\ker p_1(A)\oplus\ker p_2(A)$이다.

Proof. $\gcd$가 $1$이라 $a p_1+b p_2=1$인 polynomial $a,b$가 있고, $A$를 넣으면 $a(A)p_1(A)+b(A)p_2(A)=I$이다. 임의의 $v$에 대해 $v=b(A)p_2(A)v+a(A)p_1(A)v$인데, 첫 항은 $p_1(A)$가 $0$으로 보내고($p_1(A)b(A)p_2(A)v=b(A)p(A)v=0$) 둘째 항은 $p_2(A)$가 $0$으로 보내므로 $V=\ker p_1(A)+\ker p_2(A)$이다. 또 $v\in\ker p_1(A)\cap\ker p_2(A)$이면 $v=a(A)p_1(A)v+b(A)p_2(A)v=0$이라 합이 direct sum이다. $\blacksquare$

Theorem (Diagonalizability Criterion). $A$ is diagonalizable iff $m_A$ is product of distinct linear factors.

Proof. ($\Rightarrow$) $A$가 diagonalizable이면 eigenvector들이 $V$의 basis를 이룬다. 서로 다른 eigenvalue를 $\lambda_1,\dots,\lambda_r$이라 하고 $g(x)=\prod_i(x-\lambda_i)$라 두자. 인수들이 서로 교환하고 $\lambda_j$-eigenvector는 인수 $(A-\lambda_jI)$가 $0$으로 보내므로, $g(A)$는 모든 eigenvector를, 따라서 basis 전체를 $0$으로 보내 $g(A)=0$이다. 그러면 divisibility로 $m_A\mid g$인데, $g$가 서로 다른 일차식들의 곱이니 그 약수 $m_A$도 중근 없는 일차식들의 곱이다.

($\Leftarrow$) $m_A=\prod_i(x-\lambda_i)$가 서로 다른 일차식들의 곱이면 인수 $(x-\lambda_i)$들이 pairwise coprime이고 $m_A(A)=0$이므로, coprime kernel lemma를 반복 적용하면 $V=\bigoplus_i\ker(A-\lambda_iI)=\bigoplus_iE_{\lambda_i}$이다. 각 eigenspace의 basis를 모으면 eigenvector로 이루어진 $V$의 basis가 되어 $A$가 diagonalizable이다. $\blacksquare$

Corollary (제한의 diagonalizability). diagonalizable 행렬을 그 invariant subspace로 제한한 것도 다시 diagonalizable이다.

Proof. $A$가 diagonalizable이면 criterion으로 $m_A$가 중근 없는 일차식들의 곱이다. invariant subspace $W$에 대해 위 Proposition으로 $m_{A\vert_W}\mid m_A$라 $m_{A\vert_W}$도 중근이 없고, 다시 criterion으로 $A\vert_W$가 diagonalizable이다. $\blacksquare$

Corollary (Simultaneous Diagonalization). diagonalizable 행렬 $A,B$에 대해 다음이 동치다.

  • (i) $AB=BA$이다.
  • (ii) 어떤 invertible $P$로 $P^{-1}AP$와 $P^{-1}BP$가 둘 다 diagonal이다(공통 eigenvector basis).

Proof. (ii)$\Rightarrow$(i): $P^{-1}AP=D_1$, $P^{-1}BP=D_2$가 diagonal이면 diagonal끼리는 commute하므로 $AB=PD_1D_2P^{-1}=PD_2D_1P^{-1}=BA$이다. (i)$\Rightarrow$(ii): $A$가 diagonalizable이라 $F^n=\bigoplus_\lambda E_\lambda(A)$이다. $AB=BA$이면 각 $x\in E_\lambda(A)$에서 $A(Bx)=B(Ax)=\lambda(Bx)$라 $Bx\in E_\lambda(A)$, 곧 $B$가 각 $E_\lambda(A)$를 보존한다. 위 corollary로 $B$를 $E_\lambda(A)$로 제한한 것이 다시 diagonalizable이므로 각 $E_\lambda(A)$ 안에서 $B$의 eigenvector로 된 basis를 고를 수 있고, 이들은 $E_\lambda(A)$에 있으니 $A$의 eigenvector이기도 하다. 모든 $\lambda$에서 모으면 $A$와 $B$를 동시에 diagonalize하는 공통 basis다. $\blacksquare$

중근을 허용하면(일차식들의 곱이기만 하면) diagonal 대신 upper triangular까지는 언제나 도달한다.

Theorem (Triangularizability). $A$의 characteristic polynomial $p_A$가 $F$ 위에서 일차식들의 곱으로 분해되면, 그리고 그럴 때만, $A$는 upper triangular matrix와 similar하다. 특히 $F$가 대수적으로 닫혔으면(예: $\mathbb{C}$) 모든 $A$가 그렇다.

Proof. ($\Leftarrow$) upper triangular $T$와 similar하면 $p_A=p_T$이고, $p_T(x)=\prod_i(x-t_{ii})$가 대각성분에서 오는 일차식들의 곱이다. ($\Rightarrow$) $\dim V$에 대한 induction. $p_A$가 근 $\lambda$를 가지므로 eigenvector가 있고, 그것을 첫 벡터로 하는 basis에서 $A$가 \(\begin{pmatrix}\lambda&\ast\\0&A'\end{pmatrix}\) 꼴이 된다. 이때 $p_A=(x-\lambda)\,p_{A’}$이라 $p_{A’}$도 $F$ 위에서 일차식들의 곱이고, induction으로 $A’$이 upper triangular와 similar이므로 $A$도 그렇다. $\blacksquare$

심지어 similar에 쓰이는 basis를 orthonormal하게까지 잡을 수 있다는 강력한 결과가 성립한다. 이는 뒤에서 다룬다.

Primary decomposition

중근이 있어 diagonalization이 막힐 때는, eigenspace $\ker(A-\lambda I)$를 넓힌 공간이 필요하다.

Definition (Generalized Eigenspace). eigenvalue $\lambda$에 대해 $G_\lambda:=\ker(A-\lambda I)^n$을 generalized eigenspace라 하고, 그 원소를 generalized eigenvector라 한다.

이제 $F$가 대수적으로 닫혔다고 하자(예: $\mathbb{C}$). 그러면 $p_A$가 $\prod_i(x-\lambda_i)^{m_i}$로 완전히 factorize되고, 공간 전체가 generalized eigenspace들로 쪼개진다.

Theorem (Primary Decomposition). $F$가 대수적으로 닫혔으면 \(V=\bigoplus_{i}G_{\lambda_i}\)이고, 각 $G_{\lambda_i}$는 $A$-invariant이며 $\dim G_{\lambda_i}$는 $\lambda_i$의 algebraic multiplicity $m_i$와 같다. 또 $A-\lambda_iI$는 $G_{\lambda_i}$ 위에서 nilpotent이다.

Proof. $W_i:=\ker(A-\lambda_iI)^{m_i}$라 두자. Cayley–Hamilton으로 $p_A(A)=0$이고 $p_A=\prod_i(x-\lambda_i)^{m_i}$인데 서로 다른 $(x-\lambda_i)^{m_i}$들이 pairwise coprime이므로, coprime kernel lemma를 반복하면 $V=\bigoplus_iW_i$이다. 각 $W_i$는 $A$와 교환하는 $(A-\lambda_iI)^{m_i}$의 kernel이라 $A$-invariant이고, 그 위에서 $(A-\lambda_iI)^{m_i}=0$이라 $A-\lambda_iI$가 nilpotent이다.

$\dim W_i=m_i$를 본다. $V=\bigoplus_jW_j$가 $A$-invariant 분해라 Endomorphism and Perron–Frobenius 글의 block-diagonal Lemma로 $p_A=\prod_j p_{A\vert_{W_j}}$이고, $W_j$ 위에서 $A-\lambda_jI$가 nilpotent이라 $A\vert_{W_j}$의 eigenvalue가 $\lambda_j$뿐이므로 $p_{A\vert_{W_j}}=(x-\lambda_j)^{\dim W_j}$이다. $p_A=\prod_j(x-\lambda_j)^{m_j}$와 비교하면 $\dim W_j=m_j$이다.

끝으로 $W_i=G_{\lambda_i}$, 곧 $\ker(A-\lambda_iI)^{m_i}=\ker(A-\lambda_iI)^n$을 본다. $m_i\le n$이라 $\subseteq$는 자명하다. 역으로 $v\in\ker(A-\lambda_iI)^n$을 $v=\sum_jw_j$ ($w_j\in W_j$)로 쓰면 $0=(A-\lambda_iI)^nv=\sum_j(A-\lambda_iI)^nw_j$인데 각 항이 $W_j$에 있고 합이 direct sum에서 $0$이라 항마다 $(A-\lambda_iI)^nw_j=0$이다. 그런데 $j\ne i$이면 $A-\lambda_iI$가 $W_j$ 위에서 invertible이다. $W_j$ 위에서 $A-\lambda_iI=(A-\lambda_jI)-(\lambda_i-\lambda_j)I$인데 $A-\lambda_jI$가 nilpotent이고 $\lambda_i-\lambda_j\ne0$이므로, Endomorphism and Perron–Frobenius 글의 Proposition(nilpotent $T$와 스칼라 $c\ne0$에서 $T-cI$가 invertible이라는 것)을 $T=A-\lambda_jI$, $c=\lambda_i-\lambda_j$에 적용하면 된다. 그러면 $(A-\lambda_iI)^n$도 $W_j$ 위에서 invertible이라 $(A-\lambda_iI)^nw_j=0$에서 $w_j=0$이고, 남은 것은 $v=w_i\in W_i$이다. 그러므로 $G_{\lambda_i}=W_i$이고, 위 성질들이 모두 $G_{\lambda_i}$에 대한 것이 된다. $\blacksquare$

Jordan canonical form

모든 정사각행렬이 diagonalizable하지는 않지만 primary decomposition에 의해서 각 $G_{\lambda_i}$ 위에서 $A=\lambda_iI+N_i$ where $N_i$ is nilpotent가 성립한다. Diagonalizable이면 $N_i$가 0인 상황이다. Endomorphism and Perron–Frobenius 글에서 본 대로, nilpotent operator는 strictly upper triangular이기만 한 것이 아니라 chain을 잘 모으면 대각선 바로 위에 $1$이 하나씩만 서는 훨씬 더 정밀한 basis를 가진다. 이로부터 모든 정사각행렬이 Jordan canonical form이라는 특수한 형태와 similar하다는 결과가 나온다.

Definition (Jordan Block). $s\times s$ 행렬 \(J_s(\lambda):=\begin{pmatrix}\lambda&1& & \\ &\lambda&1& \\ & &\ddots&\ddots\\ & & &\lambda\end{pmatrix}\) (대각성분이 모두 $\lambda$이고 바로 위 대각선 성분이 모두 $1$, 나머지 성분은 $0$)을 eigenvalue $\lambda$의 Jordan block이라 한다.

Lemma (nilpotent Jordan basis). nilpotent operator $N$을 가진 유한차원 $V$는 $N$에 대한 Jordan chain들의 disjoint union인 basis를 가진다. 곧 $V$가 $N$-cyclic subspace $\langle x,Nx,\dots,N^{s-1}x\rangle$ (단 $N^sx=0$)들의 direct sum이고, 각 chain이 하나의 $J_s(0)$ block을 준다.

Proof. $\dim V$에 대한 induction으로 $V$가 $N$-cyclic subspace들의 direct sum임을 보인다. $N=0$이면 임의의 basis의 각 벡터가 길이 $1$짜리 chain이라 성립한다.

$N\ne0$이라 하자. $W=\operatorname{im}N$은 $N(W)\subseteq W$라 $N$-invariant이고 그 위에서 $N\vert_W$도 nilpotent이며, $N\ne0$인 nilpotent라 $\ker N\ne0$이므로(Endomorphism and Perron–Frobenius 글) rank–nullity로 $\dim W=\dim V-\dim\ker N<\dim V$이다. induction 가정으로 $W$는 chain들의 direct sum이다. 그 chain의 generator를 $x_1,\dots,x_r$, 길이를 $d_1,\dots,d_r$이라 하면 \(\{\,N^ax_p: 1\le p\le r,\ 0\le a\le d_p-1\,\}\)이 $W$의 basis다.

이 basis를 $V$의 basis로 키운다. 각 $x_p\in\operatorname{im}N$이라 $x_p=Ny_p$인 $y_p\in V$를 하나씩 고르면, $y_p$가 generate하는 chain은 $y_p,Ny_p,\dots,N^{d_p}y_p$로 길이가 $d_p+1$이다(마지막 벡터는 $N^{d_p}y_p=N^{d_p-1}x_p$). 각 chain의 마지막 벡터 $N^{d_p-1}x_p$는 $\ker N$에 있고 서로 linearly independent하므로($W$ basis의 일부다), $\ker N$의 basis가 되도록 $t_1,\dots,t_s$ ($s=\dim\ker N-r$)를 보태 각각을 길이 $1$ chain으로 삼는다.

이제 generator $y_1,\dots,y_r,t_1,\dots,t_s$의 chain들이 $V$를 direct sum으로 준다고 주장한다. 곧 그 chain 벡터 전체가 $V$의 basis라는 것이고(그러면 모든 벡터가 chain 벡터들의 합으로 유일하게 써진다), 개수가 \(\sum_p(d_p+1)+s=(\dim W+r)+(\dim\ker N-r)=\dim V\)로 $\dim V$와 같으니 linearly independent만 확인하면 된다.

chain 벡터들의 일차결합을 \(\sum_p\sum_{a=0}^{d_p}c_{p,a}N^ay_p+\sum_j e_jt_j=0\)이라 하고 $N$을 적용하자. $Nt_j=0$이고 마지막 벡터가 $N\cdot N^{d_p}y_p=0$으로 사라지며, $a<d_p$에서는 $N^{a+1}y_p=N^ax_p$이므로 \(\sum_p\sum_{a=0}^{d_p-1}c_{p,a}N^ax_p=0\)이 남는다. 이는 $W$의 basis의 일차결합이라 계수 $c_{p,a}$ ($a\le d_p-1$)가 모두 $0$이다. 그러면 처음 식에는 \(\sum_p c_{p,d_p}N^{d_p}y_p+\sum_j e_jt_j=0\)만 남는데, $N^{d_p}y_p$들과 $t_j$들이 $\ker N$의 basis이므로 $c_{p,d_p}$와 $e_j$도 모두 $0$이다. 따라서 모든 계수가 $0$이라 chain 벡터들이 linearly independent이고, $V$가 이 chain들의 direct sum이다.

끝으로 각 chain이 $J_s(0)$ block 하나를 줌을 본다. 길이 $s$인 chain의 cyclic subspace를 kernel 쪽 끝에서부터 \(N^{s-1}x,\ N^{s-2}x,\ \dots,\ Nx,\ x\) 순으로 나열해 basis로 삼자. $N(N^ix)=N^{i+1}x$이므로 $N$은 이 나열에서 각 벡터를 바로 왼쪽 벡터로 옮기고, 맨 왼쪽 $N^{s-1}x$는 $0$으로 보낸다($N^sx=0$). 그러면 이 basis에서 $N$의 행렬은 대각이 $0$, 바로 위 대각선이 $1$인 $s\times s$ 행렬, 곧 $J_s(0)$이다. chain들을 모두 모으면 $N$이 이 $J_s(0)$ block들의 direct sum으로 나타난다. $\blacksquare$

Theorem (Jordan Canonical Form). $F$가 대수적으로 닫혔으면 모든 $A\in F^{n\times n}$은 Jordan block들의 block-diagonal 행렬 $J$와 similar하고, $J$의 block 모임은 순서를 빼면 유일하다. 각 eigenvalue $\lambda$에 대해 $J$ 안의 $\lambda$-block들은 다음으로 결정된다.

  • block 크기의 합은 algebraic multiplicity $m_\lambda=\dim G_\lambda$와 같다.
  • block의 개수는 geometric multiplicity $\dim\ker(A-\lambda I)$와 같다.
  • 가장 큰 block의 크기는 minimal polynomial $m_A$에서 $(x-\lambda)$의 지수와 같다.

Proof. 존재. Primary decomposition으로 $V=\bigoplus_iG_{\lambda_i}$이고 각 $G_{\lambda_i}$ 위에서 $N_i=A-\lambda_iI$가 nilpotent이다. nilpotent Jordan basis Lemma를 $N_i$에 적용하면 $G_{\lambda_i}$가 $N_i$-chain들로 쪼개지고, 각 chain에 $\lambda_iI$를 되살리면 $J_s(\lambda_i)$ block이 되어, 모든 $i$의 basis를 모으면 $A$가 Jordan form으로 표현된다.

block 크기와 rank. $A$가 $J$와 similar하니 $r_k=\operatorname{rank}(A-\lambda I)^k=\operatorname{rank}(J-\lambda I)^k$이고, $J-\lambda I$가 block-diagonal이라 이 rank는 각 block의 rank를 더한 것이다. block은 $\lambda$-block이 있고 $\mu \neq \lambda$인 $\mu$에 대해 $\mu$-block이 있다. $\lambda$-block $J_m(\lambda)$에서는 $J_m(\lambda)-\lambda I=J_m(0)$이 nilpotent shift라 그 $k$제곱의 rank가 $\max(m-k,0)$이다. $\mu$-block에서는 $J_m(\mu)-\lambda I$의 대각성분 $\mu-\lambda$가 $0$이 아니라 invertible이므로 그 $k$제곱의 rank가 $k$에 무관하게 언제나 크기 $m$을 가진다. 그러면 $r_{k-1} - r_k$는 $\lambda$-block의 rank 차이이므로 $\max(m-k+1,0)-\max(m-k,0)$인데, 이는 $m\ge k$이면 $1$, $m<k$이면 $0$이다. 그러므로 $r_{k-1}-r_k$는 크기가 $k$ 이상인 $\lambda$-block의 개수와 같다. 그래서 총 $\lambda$-block의 개수는 $k=1$을 대입한 $r_0-r_1=n-\operatorname{rank}(A-\lambda I)=\dim\ker(A-\lambda I)$이므로 block 개수가 geometric multiplicity와 같다. 또 $\lambda$-block들이 채우는 공간은 primary decomposition으로 정확히 $G_\lambda$이니 그 크기의 합은 $\dim G_\lambda=m_\lambda$(algebraic multiplicity)다. 끝으로 $A$와 $J$가 similar라 $m_A=m_J$인데, block-diagonal 행렬은 $q(J)=0$이 각 block에서 $q=0$인 것과 같아 minimal polynomial이 각 block minimal polynomial의 lcm이고, 크기 $m$인 $\lambda$-block이 $(x-\lambda)^m$을 주므로 $m_A$에서 $(x-\lambda)$의 지수는 가장 큰 $\lambda$-block의 크기다.

유일성. $r_{k-1}-r_k$는 크기가 $k$ 이상인 $\lambda$-block의 개수와 같으므로 Jordan form은 순서를 빼면 유일하다. $\blacksquare$

이로부터 minimal polynomial이 distinct linear factors로 이우어져 있으면 diagonalizable이라는 점도 확인된다. 제일 큰 Jordan block의 크기가 1이기 때문이다. 또한 minimal polynomial이 characteristic polynomial과 완전히 같으면 각 $\lambda$-block이 모두 Jordan block이다.

Example (6×6 Jordan form 계산). \(A=\begin{pmatrix}1&0&0&0&0&0\\-1&1&1&0&0&-1\\0&0&0&1&0&2\\0&0&-1&2&0&1\\0&0&0&0&2&1\\0&0&0&0&0&2\end{pmatrix}\)의 Jordan form을 구해보자. 먼저 characteristic polynomial을 구해보면 $p_A(x)=(x-1)^4(x-2)^2$이다. 즉, eigenvalue는 1, 2이다. 각각의 eigenvector를 구하면 1에 대해서는 $(1,0,1,1,0,0)$, $(0,1,0,0,0,0)$가 나오고 2에 대해서는 $(0,0,0,0,1,0)$가 나온다. $6 \times 6$ 행렬인데 eigenvector가 3개뿐이므로 diagonalizable은 아니다. Jordan form을 구하기 위해서는 nilpotent Jordan basis를 구해야 한다. 각 eigenvector $v$에 대해서 $(A - \lambda I)w = v$를 풀어서 chain을 구해보자.

  • $v=(1,0,1,1,0,0)$ ($\lambda=1$): $(A-I)w=v$가 해가 없다. 이 chain은 길이 $1$로 끝난다.
  • $v=(0,1,0,0,0,0)$ ($\lambda=1$): $(A-I)w=v$가 $w=(0,0,1,1,0,0)$으로 풀린다. 연장.
  • $v=(0,0,0,0,1,0)$ ($\lambda=2$): $(A-2I)w=v$가 $w=(0,0,1,0,0,1)$로 풀린다. 연장.

위 과정을 거쳤음에도 아직 generalized eigenvector가 총 5개 밖에 안 구해졌으므로 새로 얻은 두 vector에서 반복한다.

  • $(0,0,1,1,0,0)$ ($\lambda=1$): $(A-I)w=(0,0,1,1,0,0)$이 $w=(0,0,0,1,0,0)$으로 풀린다. 연장.
  • $(0,0,1,0,0,1)$ ($\lambda=2$): $(A-2I)w=(0,0,1,0,0,1)$이 해가 없다. 이 chain은 길이 $2$로 끝난다.

따라서 nilpotent Jordan basis를 구성하는 generalized vector 6개를 모두 찾았다. 참고로 마지막 $(0,0,0,1,0,0)$도 $(A-I)w=(0,0,0,1,0,0)$이 해가 없어 그 chain이 길이 $3$으로 끝난다. 이로부터 다음과 같은 Jordan form을 얻는다. \(P^{-1}AP=J=\begin{pmatrix}1&0&0&0&0&0\\0&1&1&0&0&0\\0&0&1&1&0&0\\0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&2&1\\0&0&0&0&0&2\end{pmatrix}\)

여기서 $P$는 위에서 찾은 여섯 chain 벡터를 $J$의 block 순서대로 열에 놓은 행렬 \(P=\begin{pmatrix}1&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0\\1&0&1&0&0&1\\1&0&1&1&0&0\\0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&1\end{pmatrix}\)이다.

각 $\lambda$-block 크기의 합은 algebraic multiplicity와 같다는 것을 확인할 수 있다. 그리고 가장 큰 block의 크기로부터 $m_A=(x-1)^3(x-2)^2$라는 사실도 알 수 있다.

사실 위와 같이 Jordan form을 구하는 것이 표준적인 방법은 아니다. 오히려 잘못된 결과가 나올 가능성도 있다. $J_3(1)$에 대응하는 generalized eigenvector를 얻기 위해서 $v=(0,1,0,0,0,0)$로부터 시작되는 chain을 만들었는데 이는 $\lambda=1$의 eigenvector가 $(1,0,1,1,0,0)$, $(0,1,0,0,0,0)$로 구해져서 가능한 일이었다. 만약 eigenvector가 $(1,0,1,1,0,0)$과 $(1,1,1,1,0,0)$로 주어졌다면 둘 다 $\operatorname{im}(A-I)$ 밖에 있기 때문에 둘 다 $(A-I)w=v$를 만족하는 $w$를 찾을 수 없어서 알고리즘이 실패한다. 표준적인 방법은 각 eigenvalue $\lambda$에서 $\ker(A-\lambda I)^k$의 차원을 $k=1,2,\dots$로 구하는 것이다. 이 nullity 수열이 block 크기들을 정하고 각 Jordan basis chain을 구할 때 $\ker N^k\setminus\ker N^{k-1}$에서 vector 1개를 뽑아서 $N$을 적용하면서 내려오는 방식이다.

Jordan canonical form은 Camille Jordan이 1870년 permutation group을 다룬 책에서 제시한 것으로 알려져 있지만 [4], 정작 그 책의 표준형은 finite field 위에서의 것이었고, $\mathbb{C}$ 위에서 이와 동치인 elementary divisor 이론은 이미 Karl Weierstrass가 1868년에 세워 둔 것이었다 [5]. 다만 Weierstrass가 다룬 것은 단일 행렬이 아니라 두 bilinear form의 pencil $A-\lambda B$의 동치 분류였고, 단일 행렬의 similarity 분류는 $B=I$로 특수화한 경우다. 이 pencil 이론을 $B$가 invertible이 아닌 singular pencil까지 넓힌 것은 Kronecker의 1874년 논문인데 [6], 같은 해 Jordan과 Kronecker 사이에는 두 이론이 다루는 일반성의 성격을 두고 논쟁이 있었다 [7]. Weierstrass의 정리와 Kronecker의 invariant factor를 하나로 엮어 체의 확장 없이도 성립하는 대수적인 증명을 완성한 것은 Frobenius의 1878년 논문이다 [3].

참고문헌

  1. Cayley, A. (1858). A Memoir on the Theory of Matrices. Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 148, 17–37.
  2. Hamilton, W. R. (1853). Lectures on Quaternions. Dublin: Hodges and Smith.
  3. Frobenius, G. (1878). Über lineare Substitutionen und bilineare Formen. Journal für die reine und angewandte Mathematik, 84, 1–63.
  4. Jordan, C. (1870). Traité des substitutions et des équations algébriques. Paris: Gauthier-Villars.
  5. Weierstrass, K. (1868). Zur Theorie der bilinearen und quadratischen Formen. Monatsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 310–338.
  6. Kronecker, L. (1874). Über Schaaren von quadratischen und bilinearen Formen. Monatsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 59–76.
  7. Brechenmacher, F. (2007). La controverse de 1874 entre Camille Jordan et Leopold Kronecker. Revue d’histoire des mathématiques, 13(2), 187–257.