Universal property

Definition (Universal Object). $X$가 일반적인 set, $Y$가 vector space이고 $\iota:X\to Y$가 어떤 성질 $P$를 만족하며, $Y$와 scalar field가 같은 vector space $Z$와 $P$를 만족하는 $g:X\to Z$에 대해 $g=h\circ\iota$인 linear map $h:Y\to Z$가 유일하게 존재하면, $(Y,\iota)$를 $X$에 대한(그리고 $P$에 관한) universal object라 하고, $Y$가 만족하는 이 성질을 universal property라고 한다.

Proposition (Universal Object는 canonical하게 유일하다). $(Y,\iota)$, $(Y’,\iota’)$가 모두 $X$에 대한 universal object면, $\Phi\circ\iota=\iota’$인 isomorphism $\Phi:Y\to Y’$가 유일하게 존재한다.

Proof. $\iota’$가 $P$를 만족하는 $X\to Y’$인 map이므로 $Y$의 universal property를 적용해 $\iota’=\Phi\circ\iota$인 linear map $\Phi:Y\to Y’$를 얻는다. 대칭적으로 $\iota=\Psi\circ\iota’$인 linear map $\Psi:Y’\to Y$를 얻는다. $\Psi\circ\Phi$(linear map들의 합성이라 linear map이다)와 $\mathrm{id}Y$가 둘 다 $\iota=(\cdot)\circ\iota$를 만족하므로, $Y$의 universal property의 유일성(적용 대상 $Z=Y$, $g=\iota$)으로 $\Psi\circ\Phi=\mathrm{id}_Y$이고 마찬가지로 $\Phi\circ\Psi=\mathrm{id}{Y’}$다.$\blacksquare$

Universal property는 사실 vector space와 linear map 뿐 아니라 다른 일반적인 수학 객체에도 적용할 수 있다. Pierre Samuel의 1948년 논문에서 topological space와 continuous map에 대해서 이러한 universal property가 처음으로 체계적으로 다뤄졌다. 이후 Samuel Eilenberg와 Saunders Mac Lane이 만든(Dual space and Riesz representation에서 이미 본 두 사람이다) category theory 언어로, 이 schema는 “$X$에서 나가는(혹은 들어오는) $P$-map들의 category에서의 initial(혹은 terminal) object”로 완전히 일반화된다.

예를 들어, Vector spaces에서 본 direct sum을 universal object로 정의할 수 있다. 앞에서는 direct sum을 한 vector space 안의 두 subspace에 대해서 정의했지만, scalar field가 같기만 하면 임의의 두 vector space $V,W$에 대해서도 아래와 같이 direct sum을 정의해볼 수 있다.

Definition (Direct sum). $V,W$가 같은 field $F$ 위의 vector space일 때, \(V\oplus W:=\{(v,w):v\in V,w\in W\}\)에 \((v_1,w_1)+(v_2,w_2):=(v_1+v_2,w_1+w_2),\qquad c(v,w):=(cv,cw)\)로 연산을 주면 $V\oplus W$는 vector space가 되고, 이를 direct sum이라 한다.

Remark. $v\mapsto(v,0)$, $w\mapsto(0,w)$로 $V,W$를 각각 $V\oplus W$의 subspace로 보면 이 두 subspace의 교집합이 $\lbrace 0\rbrace $이고 그 합이 $V\oplus W$ 전체이므로, 이는 기존 direct sum의 정의를 그대로 회복한다. $V$의 basis $\lbrace b_i\rbrace _{i\in I}$와 $W$의 basis $\lbrace c_j\rbrace _{j\in J}$에 대해 $(b_i,0)$와 $(0,c_j)$를 모두 모으면 $V\oplus W$의 basis가 되므로 direct sum의 철학은 두 basis를 그저 나란히 합쳐 놓는 것이라 할 수 있다. 그래서 유한차원이면 $\dim(V\oplus W)=\dim V+\dim W$이 성립한다.

Example. (Direct sum) $X=V\times W$, $P=$”linear”라고 하면 direct sum은 $X$에 대한 universal object가 된다. Direct sum의 construction은 위와 같으며 $\iota(v,w)=(v,w)$이다.

Tensor product

Tensor product를 정의하는 여러 방법이 있지만 가장 깔끔한 것은 다음과 같이 universal object로 정의하는 것이다.

Definition (Tensor Product). 같은 scalar field를 가지는 $V,W$의 tensor product는 $X=V\times W$, $P=$”bilinear”일 때 $X$에 대한 universal object를 tensor product라고 한다. 이를 $V \otimes W$라고 표기하며, 그 universal object를 이루는 $\iota$가 $(v,w)$에 대응시키는 $V \otimes W$의 vector를 $v \otimes w$로 표기한다.

임의의 두 $V,W$에 대해서 tensor product가 존재하는지는 위 정의와 별개의 문제이다. 실제로는 tensor product는 항상 존재하며 두 basis의 cartesian product를 생각해보면 된다. Direct sum이 두 basis의 union인 것과는 대조적이다.

Proposition (존재성). $V,W$의 basis를 각각 $\lbrace b_i\rbrace _{i\in I}$, $\lbrace c_j\rbrace _{j\in J}$라 하자. $I\times J$에서 $F$로 가는, 유한개의 $(i,j)$에서만 값이 $0$이 아닌 함수 전체를 pointwise 연산으로 vector space로 보고 이를 $V\otimes W$라 하자. $(i,j)$에서만 $1$이고 나머지에서 $0$인 함수를 $b_i\otimes c_j$라 하고, 임의의 vector $v=\sum_ip_ib_i$, $w=\sum_jq_jc_j$에 대해 \(v\otimes w:=\sum_{i,j}p_iq_j\,(b_i\otimes c_j)\)로 정의하자. 그러면 $(V\otimes W,\otimes)$는 universal property를 만족한다. 즉 $V,W$의 tensor product다.

Proof. 먼저 $\otimes$가 bilinear임을 보이자. $v=\sum_ip_ib_i$, $v’=\sum_ip_i’b_i$, $w=\sum_jq_jc_j$, $c\in F$라 하면 $v+v’=\sum_i(p_i+p_i’)b_i$, $cv=\sum_i(cp_i)b_i$이므로 정의에서 바로 \((v+v')\otimes w=\sum_{i,j}(p_i+p_i')q_j\,(b_i\otimes c_j)=v\otimes w+v'\otimes w,\qquad(cv)\otimes w=c(v\otimes w)\)가 나온다. $w$쪽 선형성도 대칭적으로 같다.

다음으로 $\lbrace b_i\otimes c_j\rbrace $가 $V\otimes W$의 basis임을 보이자. $V\otimes W$의 임의의 원소(유한개의 $(i,j)$에서만 값이 $0$이 아닌 함수) $f$는 $f=\sum_{i,j}f(i,j)\,(b_i\otimes c_j)$(유한합)로 쓰이므로 $\lbrace b_i\otimes c_j\rbrace $는 $V\otimes W$를 span한다. 또한 $\sum_{i,j}c_{ij}\,(b_i\otimes c_j)$가 $0$함수라면 이 함수를 $(i,j)$에서 값을 취해보면(각 $b_i\otimes c_j$가 서로 다른 점에서만 $1$인 indicator function이므로) 바로 $c_{ij}=0$이 나오므로 일차독립이다.

이제 universal property를 확인하자. 임의의 bilinear map $B:V\times W\to U$에 대해 $L(b_i\otimes c_j):=B(b_i,c_j)$로 basis 위에서 정의하고 선형으로 확장하면 linear map $L:V\otimes W\to U$를 얻는다. 임의의 $v=\sum_ip_ib_i,w=\sum_jq_jc_j$에 대해 \(L(v\otimes w)=\sum_{i,j}p_iq_j\,L(b_i\otimes c_j)=\sum_{i,j}p_iq_j\,B(b_i,c_j)=B(v,w)\)인데(마지막 등호는 $B$의 bilinearity), 곧 $L\circ\otimes=B$다. 유일성은 $\lbrace b_i\otimes c_j\rbrace $가 $V\otimes W$를 span하므로 $L$의 값이 그 위에서 강제된다는 데서 나온다. $\blacksquare$

이러한 tensor product의 construction은 basis의 선택에 의존하지만 이 역시 universal property를 만족하기 때문에 universal object의 성질에 따라 모든 construction이 isomorphic하다.

Corollary (Dimension). 유한차원 $V,W$에서 $\dim(V\otimes W)=(\dim V)(\dim W)$.

Proof. $V,W$의 basis를 $v_1,\dots,v_m$, $w_1,\dots,w_n$이라 하고, 위 Proposition에서 $b_i=v_i$, $c_j=w_j$로 택해 tensor product를 구성하면, $\lbrace v_i\otimes w_j\rbrace $가 $V\otimes W$의 basis이므로 $\dim(V\otimes W)=mn=(\dim V)(\dim W)$다. $\blacksquare$

Corollary. $B(V,W) \cong (V\otimes W)^\ast $

Example. $V=W=\mathbb{R}^2$에서 표준 basis로 $\dim(V\otimes W)=4$이고, $e_1\otimes e_1,e_1\otimes e_2,e_2\otimes e_1,e_2\otimes e_2$가 basis다. \((1,1)\otimes(1,-1)=e_1\otimes e_1-e_1\otimes e_2+e_2\otimes e_1-e_2\otimes e_2\)처럼 전개된다.

Example (simple tensor가 아닌 원소). 같은 $V\otimes W=\mathbb{R}^2\otimes\mathbb{R}^2$에서 $e_1\otimes e_1+e_2\otimes e_2$는 어떤 $v,w\in\mathbb{R}^2$에 대해서도 $v\otimes w$ 꼴로 쓰이지 않는다. basis $e_i\otimes e_j$에서의 좌표를 행렬 $C=(c_{ij})$로 모으면, $v\otimes w=\sum_{i,j}v_iw_j\,e_i\otimes e_j$의 좌표행렬은 $vw^{\mathsf T}$(rank가 $0$ 또는 $1$)인 반면, $e_1\otimes e_1+e_2\otimes e_2$의 좌표행렬은 $I$로 rank가 $2$이기 때문이다.

Example (다항식). $F[x]$는 monomial $1,x,x^2,\dots$을 basis로 갖는 무한차원 vector space이므로, 위 construction이 그대로 적용되어 \(F[x]\otimes F[y]\cong F[x,y]\qquad(x^i\otimes y^j\leftrightarrow x^iy^j)\)가 성립한다. 두 변수 polynomial 공간이 monomial들의 tensor product인 것이다.

Tensor product의 성질

Proposition.

  • 교환: $V\otimes W\cong W\otimes V$
  • 결합: $(U\otimes V)\otimes W\cong U\otimes(V\otimes W)$
  • 분배: $U\otimes(V\oplus W)\cong(U\otimes V)\oplus(U\otimes W)$
  • dual: $(V\otimes W)^\ast \cong V^\ast \otimes W^\ast $

Proof. 교환: $(v,w)\mapsto w\otimes v$가 $V\times W\to W\otimes V$인 bilinear map이므로 universal property로 $V\otimes W\to W\otimes V$인 linear map이 나오고, 대칭적으로 반대 방향도 나와(basis에서 서로 역임이 확인된다) 서로 역이다. 결합·분배도 양쪽의 자연스러운 basis(각각 $u_i\otimes v_j\otimes w_k$류, $u_i\otimes v_j$와 $u_i\otimes w_k$류)를 대응시키는 같은 논증으로 확인된다. dual: basis에서 $(v_i\otimes w_j)^\ast \leftrightarrow v_i^\ast \otimes w_j^\ast $의 대응이 \(\big(v_i^*\otimes w_j^*\big)(v_k\otimes w_l):=v_i^*(v_k)\,w_j^*(w_l)=\delta_{ik}\delta_{jl}\)을 만족해 정확히 dual basis를 주므로 isomorphism이다. $\blacksquare$

Theorem (Tensor-Hom Adjunction). 자연스러운 isomorphism \(\operatorname{Hom}(U\otimes V,W)\cong\operatorname{Hom}(U,\operatorname{Hom}(V,W))\)가 성립한다.

Proof. $L:U\otimes V\to W$가 주어지면 각 $u\in U$마다 $v\mapsto L(u\otimes v)$가 $V\to W$인 linear map이고, $u\mapsto\big(v\mapsto L(u\otimes v)\big)$ 자체도 $u$에 대해 linear이므로(둘 다 $L$과 $\otimes$가 각 인수에 linear라는 데서 나온다) 이는 $\Phi(L)\in\operatorname{Hom}(U,\operatorname{Hom}(V,W))$를 정의한다. 역으로 $\Psi:U\to\operatorname{Hom}(V,W)$가 주어지면 $(u,v)\mapsto\Psi(u)(v)$가 $U\times V\to W$인 bilinear map이므로(각 인수에 대한 선형성이 $\Psi$의 선형성과 각 $\Psi(u)$의 선형성에서 각각 나온다), universal property로 유일한 $\Theta(\Psi)\in\operatorname{Hom}(U\otimes V,W)$가 나온다. $\Phi,\Theta$가 basic tensor $u\otimes v$ 위에서 서로 역임이 정의에서 바로 확인되므로 둘은 서로 역인 isomorphism이다. $\blacksquare$

$W=F$로 두면 $\operatorname{Hom}(U \otimes V, F) \cong \operatorname{Hom}(U,V^\ast) \cong B(U,V)$가 다시 나온다. 여기서 $\operatorname{Hom}(U,V^\ast) \cong B(U,V)$는 한 벡터 $u$를 넣으면 $B(u,\cdot)\in V^\ast $를 내놓는 대응이다.

Proposition. $V$ 또는 $W$가 유한차원이면 $\operatorname{Hom}(V,W)\cong V^\ast \otimes W$다.

Proof. $\Phi:V^\ast \otimes W\to\operatorname{Hom}(V,W)$를 $\varphi\otimes w\mapsto(v\mapsto\varphi(v)w)$(rank $1$ 또는 $0$인 linear map)로 두고 선형으로 확장하자.

$V$가 유한차원인 경우: basis $v_1,\dots,v_m$과 dual basis $v_1^\ast ,\dots,v_m^\ast $를 택하면 $V^\ast \otimes W$의 임의의 원소는 $\sum_iv_i^\ast \otimes u_i$(유일한 $u_1,\dots,u_m\in W$) 꼴로 유일하게 쓰이고, $\Phi\big(\sum_iv_i^\ast \otimes u_i\big)$는 $v_i\mapsto u_i$($i=1,\dots,m$)인 linear map이다. $V$가 유한차원이라 basis 위의 값 $(u_1,\dots,u_m)\in W^m$을 자유롭게 지정하는 것과 linear map $V\to W$ 하나를 지정하는 것이 정확히 같으므로 $\Phi$는 bijective하다.

$W$가 유한차원인 경우: basis $w_1,\dots,w_n$을 택하면 $V^\ast \otimes W$의 임의의 원소는 $\sum_j\varphi_j\otimes w_j$(유일한 $\varphi_1,\dots,\varphi_n\in V^\ast $) 꼴로 유일하게 쓰이고, $\Phi\big(\sum_j\varphi_j\otimes w_j\big)$는 $v\mapsto\sum_j\varphi_j(v)w_j$인 linear map이다. 역으로 임의의 linear map $S:V\to W$는 $w_j$가 basis이므로 $S(v)=\sum_j\varphi_j(v)w_j$인 유일한 좌표함수 $\varphi_1,\dots,\varphi_n:V\to F$를 주는데, 각 $\varphi_j$는 $S$와 $j$번째 좌표사영의 합성이라 linear이므로 $V^\ast $의 원소다. 곧 $S\leftrightarrow(\varphi_1,\dots,\varphi_n)$이 서로 역인 대응이라 $\Phi$는 bijective하다. $\blacksquare$

Example ($V,W$가 모두 무한차원이면 실패한다). $V=W$가 무한차원이고 basis $e_1,e_2,\dots$라 하자. $\operatorname{id}V\in\operatorname{Hom}(V,V)$는 $\Phi$의 image에 들지 않는다: $\Phi\big(\sum{k=1}^N\varphi_k\otimes w_k\big)$의 image는 언제나 유한차원 부분공간 $\operatorname{span}(w_1,\dots,w_N)$에 들어 있는데, $\operatorname{id}_V$의 image는 무한차원인 $V$ 전체이기 때문이다. 곧 $V,W$가 모두 무한차원이면 위 Proposition은 일반적으로 성립하지 않는다.

Proposition (trace는 evaluation pairing이다). $V$가 유한차원이고 $T\in\operatorname{Hom}(V,V)$이면, $T$를 어떤 basis에서 나타낸 행렬 $A$의 (basis에 무관한) trace $\operatorname{tr}(T):=\sum_iA_{ii}$는, 위 Proposition의 isomorphism $\operatorname{Hom}(V,V)\cong V^\ast \otimes V$($W=V$인 경우) 아래 $T$에 대응하는 tensor를 evaluation pairing \(V^\ast \otimes V\to F,\qquad\varphi\otimes v\mapsto\varphi(v)\)으로 보낸 값과 정확히 같다.

Proof. basis $e_1,\dots,e_n$과 dual basis $e_1^\ast ,\dots,e_n^\ast $를 고르면, 위 Proposition의 대응 아래 $T$는 \(\sum_ie_i^\ast \otimes Te_i\)에 대응한다(실제로 이 tensor를 $\Phi$로 보내면 $e_k\mapsto\sum_ie_i^\ast (e_k)Te_i=Te_k$라 정확히 $T$를 준다). $Te_i=\sum_jA_{ji}e_j$이므로 $e_i^\ast (Te_i)=A_{ii}$이고, 따라서 evaluation pairing 값은 \(\sum_ie_i^\ast (Te_i)=\sum_iA_{ii}=\operatorname{tr}(T)\)다. $\blacksquare$

Definition (다중 Tensor Product). 같은 scalar field를 가지는 $V_1,\dots,V_k$의 tensor product는 $X=V_1\times\cdots\times V_k$, $P=$”$k$-linear”일 때 $X$에 대한 universal object를 말한다. 이를 $V_1\otimes\cdots\otimes V_k$라 표기하며, 그 universal object를 이루는 $\iota$가 $(v_1,\dots,v_k)$에 대응시키는 vector를 $v_1\otimes\cdots\otimes v_k$라 표기한다.

Remark. 다중 tensor product의 존재성도 basis의 Cartesian product를 이용한 construction으로 보일 수 있다.

Remark. $V^{\otimes k}:=V \otimes \cdots \otimes V$

Remark. 무한개의 vector space에 대한 tensor product도 존재는 한다. $X:=\prod_iV_i$, $P=$”각 좌표에 대해 linear”로 두면, $X$에 대한 tensor product가 된다. 그러나 유한개일 때처럼 $\iota$를 구성하려고 하면 실패한다. 예를 들어 모든 $i\in\mathbb{N}$에서 $V_i=\mathbb{R}^2$이고 $v_i=e_1+e_2$라 하자. Multilinearity로 $\bigotimes_iv_i$를 전개하면 항이 무한개가 나오기 때문에 $\iota$가 잘 정의되지 않는다. $\iota$는 다음과 같은 방식으로 구성할 수 있다. $x\in X$마다 basis vector $\delta_x$를 하나씩 대응시켜서 이 basis로 span된 vector space $V$를 만든다. 그리고 index $i$ 하나를 고정할 때마다 그 자리에서 덧셈과 스칼라곱을 보존해야 한다는 관계식들을 전부 모아 생성하는 부분공간 $N$으로 quotient해 $Y:=V/N$을 만들고, $\iota(x):=\delta_x+N$으로 정의한다. $N$의 정의에 따라 $\iota$는 $P$-map이다. 임의의 $P$-map $g:X\to Z$가 주어지면, $V$가 $X$ 위의 free vector space이므로 $\delta_x\mapsto g(x)$로 정의하고 선형으로 확장한 linear map $\hat g:V\to Z$가 유일하게 존재한다. $g$가 $P$를 만족한다는 것은 정확히 $\hat g$가 $N$의 모든 생성원 위에서 $0$이 된다는 뜻이므로 $N\subseteq\ker\hat g$이고, 이로부터 $h([\delta_x]):=\hat g(\delta_x)=g(x)$로 잘 정의된 linear map $h:Y\to Z$를 얻는다. $h\circ\iota=g$이고, $\lbrace [\delta_x]\rbrace _{x\in X}$가 $Y$를 span하므로 $h$는 유일하다. 하지만 이러한 construction은 유한개일 때와 달리 유용하지는 않기 때문에 tensor product는 주로 유한개일 때만 생각한다.

Theorem (다중 tensor product의 결합성). \((V_1\otimes V_2)\otimes V_3\cong V_1\otimes V_2\otimes V_3\)이고, 같은 논증으로 임의의 개수·임의의 괄호 위치에 대해서도 성립한다.

Proof. $(V_1\otimes V_2)\otimes V_3$가 $V_1\times V_2\times V_3$에 대한 tri-linear universal property를 만족함을 보이면 충분하다: Universal Object는 canonical하게 유일하므로, 이를 보이면 $(V_1\otimes V_2)\otimes V_3$는 (basis 선택과 무관하게) $V_1\otimes V_2\otimes V_3$와 canonical하게 isomorphic하기 때문이다. $\iota(v_1,v_2,v_3):=(v_1\otimes v_2)\otimes v_3$는 각 성분의 bilinearity에서 바로 tri-linear다. 임의의 tri-linear map $B:V_1\times V_2\times V_3\to U$가 주어지면, 각 $v_3$마다 $(v_1,v_2)\mapsto B(v_1,v_2,v_3)$가 bilinear이므로 $V_1\otimes V_2$의 universal property로 linear map $L_{v_3}:V_1\otimes V_2\to U$를 얻고, $(t,v_3)\mapsto L_{v_3}(t)$는 $t$에 대해 linear(정의에서 바로 나온다)이고 $v_3$에 대해서도 linear($B$가 세 번째 성분에 linear라는 데서 $L_{v_3}$가 $v_3$에 linear하게 의존한다)이므로 $(V_1\otimes V_2)\times V_3\to U$인 bilinear map이다. 여기에 다시 $(V_1\otimes V_2)\otimes V_3$의 universal property를 적용하면 $\iota$를 거쳐 $B$를 재현하는 linear map $(V_1\otimes V_2)\otimes V_3\to U$를 얻고, 이는 $\iota$의 image가 span하므로 유일하다. 곧 $((V_1\otimes V_2)\otimes V_3,\iota)$는 tri-linear map에 대한 universal object다. 이 논증을 반복하면 임의의 개수·괄호 위치에서도 같은 결론을 얻으므로, 이후로는 괄호 없이 $V_1\otimes\cdots\otimes V_k$라 써도 무방하다. $\blacksquare$

Operator의 Tensor Product

Definition (Linear map의 Tensor Product). $S:V_1\to W_1$, $T:V_2\to W_2$에 대해 $(v,w)\mapsto Sv\otimes Tw$는 $V_1\times V_2\to W_1\otimes W_2$인 bilinear map이므로, universal property로 \(S\otimes T:V_1\otimes V_2\to W_1\otimes W_2,\qquad(S\otimes T)(v\otimes w)=Sv\otimes Tw\)인 linear map이 유일하게 정해진다.

Proposition (합성). 합성 가능할 때 \((S_1\otimes T_1)\circ(S_2\otimes T_2)=(S_1\circ S_2)\otimes(T_1\circ T_2).\)

Proof. 양변을 $v\otimes w$ 꼴(이들이 span하므로 이걸로 충분하다)에 적용하면 \((S_1\otimes T_1)\big((S_2\otimes T_2)(v\otimes w)\big)=(S_1\otimes T_1)(S_2v\otimes T_2w)=S_1S_2v\otimes T_1T_2w=\big((S_1S_2)\otimes(T_1T_2)\big)(v\otimes w)\)로 일치한다. $\blacksquare$

$S,T$가 각각 eigenvector를 가지면 그 tensor도 eigenvector가 된다.

Proposition ($S\otimes T$의 eigenvalue). $S:V\to V$, $T:W\to W$가 $Sv=\lambda v$, $Tw=\mu w$인 eigenvector $v,w$를 가지면, $v\otimes w$는 $S\otimes T$의 eigenvalue $\lambda\mu$짜리 eigenvector다. 특히 $S,T$가 각각 eigenbasis $v_1,\dots,v_m$(eigenvalue $\lambda_i$), $w_1,\dots,w_n$(eigenvalue $\mu_j$)로 diagonalizable이면, $S\otimes T$는 eigenbasis $v_i\otimes w_j$로 diagonalizable이고 그 eigenvalue 전체가 \(\{\lambda_i\mu_j\}\)다.

Proof. $(S\otimes T)(v\otimes w)=Sv\otimes Tw=\lambda v\otimes\mu w=\lambda\mu\,(v\otimes w)$이다. $S,T$가 각각 eigenbasis를 가지면 $v_i\otimes w_j$들이(basis의 tensor라) $V\otimes W$의 basis를 이루고, 각각이 이 계산으로 eigenvalue $\lambda_i\mu_j$의 eigenvector이므로 $S\otimes T$가 이 basis에서 diagonal이다. $\blacksquare$

Proposition (Kronecker product). $S:F^m\to F^p$, $T:F^n\to F^q$의 행렬이 각각 $A,B$이면, basis $e_i\otimes f_j$를 $(i,j)$의 사전식 순서로 나열한 좌표에서 $S\otimes T$의 행렬은 $(pq)\times(mn)$ Kronecker product \(A\otimes B:=\begin{pmatrix}A_{11}B&\cdots&A_{1m}B\\\vdots&&\vdots\\A_{p1}B&\cdots&A_{pm}B\end{pmatrix}\) 이다.

Proof. \((S\otimes T)(e_i\otimes f_j)=Se_i\otimes Tf_j=\Big(\sum_aA_{ai}e_a\Big)\otimes\Big(\sum_bB_{bj}f_b\Big)=\sum_{a,b}A_{ai}B_{bj}\,(e_a\otimes f_b)\)이므로, 입력 $e_i\otimes f_j$의 상에서 $e_a\otimes f_b$의 계수는 $A_{ai}B_{bj}$다. 행-block을 $a$, 열-block을 $i$로 묶으면 그 block은 $(b,j)$ 성분이 $A_{ai}B_{bj}$인 행렬, 곧 $A_{ai}B$이므로 정확히 위 block 행렬이다. $\blacksquare$

Example (Kronecker product 계산). \(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\)이면 \(A\otimes B=\begin{pmatrix}0&1&0&2\\1&0&2&0\\0&3&0&4\\3&0&4&0\end{pmatrix}\)이다.

Corollary (trace의 곱셈성). \(\operatorname{tr}(S\otimes T)=\operatorname{tr}(S)\operatorname{tr}(T).\)

Proof. Kronecker product $A\otimes B$의 diagonal 성분은 block $(i,i)=A_{ii}B$의 diagonal 성분, 곧 $A_{ii}B_{jj}$이므로 \(\operatorname{tr}(S\otimes T)=\sum_{i,j}A_{ii}B_{jj}=\Big(\sum_iA_{ii}\Big)\Big(\sum_jB_{jj}\Big)=\operatorname{tr}(S)\operatorname{tr}(T)\)이다. $\blacksquare$

Corollary (Determinant의 곱셈성). $S:V\to V$, $T:W\to W$의 characteristic polynomial이 각각 $F$에서 일차식들의 곱으로 분해되면(eigenvalue $\lambda_1,\dots,\lambda_m$, $\mu_1,\dots,\mu_n$, multiplicity 포함), \(\det(S\otimes T)=(\det S)^{n}(\det T)^{m}.\)

Proof. Cayley-Hamilton and Jordan form의 Triangularizability로 $S,T$의 basis를 각각 잘 골라 그 행렬 $A,B$가 upper triangular(대각 성분이 각각 $\lambda_1,\dots,\lambda_m$, $\mu_1,\dots,\mu_n$)가 되게 할 수 있다. basis $e_i\otimes f_j$를 $(i,j)$의 사전식 순서로 나열하면 $S\otimes T$의 행렬은 Kronecker product $A\otimes B$인데, $(i,j),(k,l)$ 성분이 $A_{ik}B_{jl}$이고 $(i,j)$가 사전식으로 $(k,l)$보다 뒤라면($i>k$이거나 $i=k,j>l$) $A,B$가 upper triangular라 이 성분이 $0$이다. 곧 $A\otimes B$도 upper triangular이고, 그 대각 성분(위치 $(i,j),(i,j)$)은 $A_{ii}B_{jj}=\lambda_i\mu_j$이므로 \(\det(S\otimes T)=\prod_{i,j}\lambda_i\mu_j=\Big(\prod_i\lambda_i\Big)^n\Big(\prod_j\mu_j\Big)^m=(\det S)^n(\det T)^m\)이다. $\blacksquare$

Exterior algebra와 wedge product

Definition (Algebra). $F$ 위의 vector space $A$에 bilinear map $\cdot:A\times A\to A$(곱)이 주어져 있으면 $A$를 $F$ 위의 algebra라 한다. 이 곱이 associative, 즉 임의의 $a,b,c\in A$에 대해 $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c)$를 만족하면 $A$를 $F$ 위의 associative algebra라 한다.

Definition (Graded Algebra). Algebra $A$가 vector space로서 $A=\bigoplus_{k\ge0}A_k$로 decompose되고, 곱이 $A_p\cdot A_q\subseteq A_{p+q}$(임의의 $p,q\ge0$)를 만족하면 $A$를 graded algebra라 한다.

Definition (Exterior Power). $V^{\otimes k}$ 안에서, 어떤 자리에 같은 벡터가 두 번 나오는 $v_1\otimes\cdots\otimes v_k$($v_i=v_j$, $i\ne j$인 경우) 전체가 생성하는 부분공간을 $N_k$라 하면, \(\Lambda^kV:=V^{\otimes k}/N_k\)를 $k$번째 exterior power라 하고, $v_1\wedge\cdots\wedge v_k$를 $v_1\otimes\cdots\otimes v_k$의 $\Lambda^kV$에서의 image라 한다.

Proposition (기본 성질). $\wedge$는 $k$-linear이고 alternating이다: 두 자리를 바꾸면 부호가 바뀌고 $v_1,\dots,v_k$가 linearly dependent이면 $v_1\wedge\cdots\wedge v_k=0$이다.

Proof. $\otimes$가 $k$-linear이고 $\wedge$는 그 quotient map이므로 $\wedge$도 $k$-linear다. $v_i=v_j$($i\ne j$)이면 $v_1\otimes\cdots\otimes v_k\in N_k$(정의 그 자체)이므로 $v_1\wedge\cdots\wedge v_k=0$이다.

두 자리를 바꾸면 부호가 바뀐다는 것은 다음에서 나온다. $i,j$번째 자리에 똑같이 $v_i+v_j$를 넣으면 반복되는 벡터가 생기므로 \(v_1\wedge\cdots\wedge(v_i+v_j)\wedge\cdots\wedge(v_i+v_j)\wedge\cdots\wedge v_k=0\)이다. 좌변을 $k$-linear로 전개하면 $i,j$ 자리가 각각 $v_i,v_i$인 항과 $v_j,v_j$인 항은 반복되는 벡터가 있어 $0$이 되어 사라지고, \(v_1\wedge\cdots\wedge v_i\wedge\cdots\wedge v_j\wedge\cdots\wedge v_k+v_1\wedge\cdots\wedge v_j\wedge\cdots\wedge v_i\wedge\cdots\wedge v_k=0\)만 남으므로, $i,j$ 자리를 바꾸면 부호가 바뀐다.

$v_1,\dots,v_k$가 linearly dependent이면 어떤 $v_m=\sum_{l\ne m}c_lv_l$로 쓰이는데, 이를 $m$번째 자리에 넣고 $k$-linear로 전개하면 각 항에서 $v_l$이 $m$번째와 $l$번째 두 자리에 겹쳐 나와(반복되는 벡터라) 모든 항이 $0$이므로 $v_1\wedge\cdots\wedge v_k=0$이다. $\blacksquare$

Definition (Exterior Algebra). \(\Lambda(V):=\bigoplus_{k=0}^n\Lambda^kV\qquad(\Lambda^0V:=F,\ \Lambda^1V:=V)\)는 곱을 basic wedge의 concatenation \((v_1\wedge\cdots\wedge v_p)\wedge(w_1\wedge\cdots\wedge w_q):=v_1\wedge\cdots\wedge v_p\wedge w_1\wedge\cdots\wedge w_q\in\Lambda^{p+q}V\)로 정의하면 associative algebra를 이룬다. 이 곱은 $\Lambda^pV\wedge\Lambda^qV\subseteq\Lambda^{p+q}V$를 만족하므로 $\Lambda(V)$는 graded algebra이기도 하다.

Proposition (Graded Commutativity). $\alpha\in\Lambda^pV$, $\beta\in\Lambda^qV$이면 \(\alpha\wedge\beta=(-1)^{pq}\beta\wedge\alpha.\)

Proof. $\alpha=v_1\wedge\cdots\wedge v_p$, $\beta=w_1\wedge\cdots\wedge w_q$인 경우만 보면 충분하다(일반적인 경우는 이런 basic wedge들의 일차결합이므로 선형성으로 확장된다). $v_1\wedge\cdots\wedge v_p\wedge w_1\wedge\cdots\wedge w_q$에서 $w_1$을 인접한 자리를 바꾸는 $p$번의 swap으로 맨 앞까지 옮기면 부호가 $(-1)^p$ 붙고, 같은 방식으로 $w_2,\dots,w_q$를 차례로 $v$들 앞으로 옮기면 전체 $pq$번의 swap, 곧 $(-1)^{pq}$가 붙어 $\beta\wedge\alpha=w_1\wedge\cdots\wedge w_q\wedge v_1\wedge\cdots\wedge v_p$가 된다. $\blacksquare$

Theorem (차원). $\dim V=n$, basis $e_1,\dots,e_n$이면 \(\{e_{i_1}\wedge\cdots\wedge e_{i_k}:1\le i_1<\cdots<i_k\le n\}\)이 $\Lambda^kV$의 basis이고, $\dim\Lambda^kV=\binom nk$다.

Proof. 먼저 span함을 보이자. $V^{\otimes k}$가 basis tensor $e_{j_1}\otimes\cdots\otimes e_{j_k}$($1\le j_1,\dots,j_k\le n$, 순서·중복 무관) 전체로 span된다는 것은 Dimension Corollary의 증명과 같은 방식(각 $v_l$을 basis로 전개해 $k$-linear로 펼치는 것)으로 확인되므로, 그 quotient인 $\Lambda^kV$는 $e_{j_1}\wedge\cdots\wedge e_{j_k}$ 전체로 span된다. 이 중 어떤 두 index가 같으면 위 Proposition으로 $0$이고, 서로 다르면 오름차순으로 재배열할 때 같은 Proposition의 부호 규칙으로 부호만 바뀌므로, 결국 오름차순 index $I=(i_1<\cdots<i_k)$인 $e_{i_1}\wedge\cdots\wedge e_{i_k}$들만으로도 span된다.

다음으로 일차독립을 보이자. 오름차순 $I=(i_1<\cdots<i_k)$마다 \(\varphi_I(v_1,\dots,v_k):=\det\big((v_l)_{i_m}\big)_{m,l=1}^k\)($(v_l)_{i_m}$은 $v_l$의 $e_{i_m}$ 방향 좌표)로 두면, determinant가 각 행·열에 alternating multilinear이므로(Determinant 글) $\varphi_I$는 $v_1,\dots,v_k$에 대해 alternating $k$-linear form이다. Tensor product의 universal property($U=F$인 경우)로 $\varphi_I$는 linear map $\Phi_I:V^{\otimes k}\to F$를 유도하는데, $\varphi_I$가 alternating이라는 것은 정확히 $\Phi_I$가 $N_k$(반복되는 벡터들이 생성하는 부분공간) 위에서 $0$이라는 뜻이므로, $\Phi_I$는 quotient를 타고 내려가는 linear functional $\overline\Phi_I:\Lambda^kV\to F$를 준다. 오름차순 $J=(j_1<\cdots<j_k)$에 대해 $J\ne I$이면 어떤 $i_m\notin J$가 있어 그 행이 전부 $0$이 되므로 $\varphi_I(e_{j_1},\dots,e_{j_k})=0$이고, $J=I$이면 단위행렬의 determinant라 $1$이니, $\overline\Phi_I(e_{j_1}\wedge\cdots\wedge e_{j_k})=\delta_{IJ}$다. 따라서 $\sum_Jc_J\,e_{j_1}\wedge\cdots\wedge e_{j_k}=0$에 $\overline\Phi_I$를 적용하면 $c_I=0$이 나오므로 일차독립이다. $\blacksquare$

Corollary. $k>n$이면 \(\Lambda^kV=\{0\}\)이다($\binom nk=0$). $k=n$이면 $\dim\Lambda^nV=1$이다.

Example. $\mathbb{R}^3$에서 $\Lambda^2\mathbb{R}^3$은 $\binom32=3$차원이고, $e_1\wedge e_2,e_2\wedge e_3,e_3\wedge e_1$이 그 basis다. $u\wedge v$의 이 basis에서의 좌표는 정확히 cross product $u\times v$의 좌표와 같다(성분을 직접 전개하면 확인된다): \(u\wedge v=(u_2v_3-u_3v_2)\,e_2\wedge e_3+(u_3v_1-u_1v_3)\,e_3\wedge e_1+(u_1v_2-u_2v_1)\,e_1\wedge e_2.\) 곧 cross product는 $3$차원에서만 통하는 wedge product의 특수한 얼굴이다. 이는 나중에 de Rham cohomology와도 연계되는 개념이다.

Definition (Linear map의 Wedge Product). $T:V\to V$에 대해 \(\Lambda^kT:\Lambda^kV\to\Lambda^kV,\qquad\Lambda^kT(v_1\wedge\cdots\wedge v_k):=Tv_1\wedge\cdots\wedge Tv_k\)로 정의한다(우변이 $k$-linear·alternating을 그대로 물려받으므로 basic wedge에서 정의한 뒤 선형으로 잘 확장된다).

Proposition (합성). \(\Lambda^k(S\circ T)=\Lambda^kS\circ\Lambda^kT.\)

Proof. basic wedge에 대입하면 \(\Lambda^k(ST)(v_1\wedge\cdots\wedge v_k)=STv_1\wedge\cdots\wedge STv_k=\Lambda^kS(Tv_1\wedge\cdots\wedge Tv_k)=\Lambda^kS\big(\Lambda^kT(v_1\wedge\cdots\wedge v_k)\big)\)로 양변이 basic wedge 위에서 일치하고, 이들이 span하므로 전체에서 일치한다. $\blacksquare$

Theorem (Determinant는 $\Lambda^n$의 scaling factor). $k=n$인 경우 $\Lambda^nV$가 $1$차원이므로 $\Lambda^nT$는 어떤 스칼라를 곱하는 map이고, 그 스칼라는 $\det T$다.

Proof. basis $e_1,\dots,e_n$에서 $Te_j=\sum_iA_{ij}e_i$이므로 \(Te_1\wedge\cdots\wedge Te_n=\sum_{i_1,\dots,i_n}A_{i_11}\cdots A_{i_nn}\,e_{i_1}\wedge\cdots\wedge e_{i_n}\)인데, alternating이라 $i_1,\dots,i_n$에 중복이 있으면 $0$이 되어 permutation $\sigma$인 경우만 남고, $e_{\sigma(1)}\wedge\cdots\wedge e_{\sigma(n)}=\operatorname{sgn}(\sigma)\,e_1\wedge\cdots\wedge e_n$이므로 \(Te_1\wedge\cdots\wedge Te_n=\Big(\sum_\sigma\operatorname{sgn}(\sigma)A_{\sigma(1)1}\cdots A_{\sigma(n)n}\Big)e_1\wedge\cdots\wedge e_n=\det(A)\,e_1\wedge\cdots\wedge e_n\)이다(Determinant 글의 Leibniz formula, 정확히 이 식이다). $\blacksquare$

determinant의 alternating multilinear한 성격, Leibniz formula, 그리고 “$n$개를 넘는 벡터는 언제나 일차종속”이라는 사실(그래서 $k>n$에서 $\Lambda^kV=0$)이 모두 이 하나의 $1$차원 공간 $\Lambda^nV$로부터 나온다.

Definition (Orientation). $\dim\Lambda^nV=1$이므로, $\Lambda^nV\setminus\lbrace 0\rbrace $ 위에 \(\omega\sim\omega'\;:\Leftrightarrow\;\omega'=c\omega\text{인 }c>0\text{이 존재}\)로 동치관계를 주면 동치류가 정확히 두 개 나온다. 이 두 동치류 중 하나를 고르는 것을 $V$에 orientation을 준다고 하고, 그 동치류의 대표 $\omega\in\Lambda^nV\setminus\lbrace 0\rbrace $를 명시해 $(V,\omega)$를 oriented vector space라 한다.

Remark. $\Lambda^nV\setminus\lbrace 0\rbrace$ 위에서 고른 원소는 $V$의 basis들의 wedge product이다. $\omega \sim \omega’$인 것은 각각을 이루는 basis 간의 change-of-basis 행렬 $P$의 determinant가 양수인 것과 동치이다. ($c=\det P$)

Theorem (Wedge product의 dual). 자연스러운 isomorphism \(\Lambda^k(V^*)\cong(\Lambda^kV)^*\)가 성립하고, 이는 $V$ 위의 alternating $k$-linear form 전체(Bilinear forms, quadratic forms, and positive operators)와 정확히 같은 공간이다.

Proof. $\varphi_1,\dots,\varphi_k\in V^\ast $에 대해 \((\varphi_1\wedge\cdots\wedge\varphi_k)(v_1,\dots,v_k):=\det\big(\varphi_i(v_j)\big)\)($k\times k$ 행렬의 determinant)로 두면, determinant가 각 행·열에 alternating multilinear이므로(Determinant 글) 우변은 $v_1,\dots,v_k$에 대해서도 $\varphi_1,\dots,\varphi_k$에 대해서도 alternating $k$-linear다. basis $e_1,\dots,e_n$과 dual basis $e_1^\ast ,\dots,e_n^\ast $에서 오름차순 첨자 $I,J$마다 \(\big(e_{i_1}^*\wedge\cdots\wedge e_{i_k}^*\big)(e_{j_1},\dots,e_{j_k})=\delta_{IJ}\)이므로(대각 성분만 $1$인 permutation matrix의 determinant), $\Lambda^k(V^\ast )$의 basis \(\{e_{i_1}^*\wedge\cdots\wedge e_{i_k}^*\}\)가 $\Lambda^kV$의 basis에 대한 dual basis로 정확히 대응해 isomorphism을 준다. $\blacksquare$

Theorem (Direct Sum의 Exterior Power). \(\Lambda^k(V\oplus W)\cong\bigoplus_{i+j=k}\Lambda^iV\otimes\Lambda^jW.\)

Proof. $V,W\subseteq V\oplus W$로 보면 $(\alpha,\beta)\mapsto\alpha\wedge\beta$($\alpha\in\Lambda^iV$, $\beta\in\Lambda^jW$)가 $\Lambda^iV\times\Lambda^jW\to\Lambda^k(V\oplus W)$인 bilinear map이라 Tensor product 절의 universal property로 $\Lambda^iV\otimes\Lambda^jW\to\Lambda^k(V\oplus W)$인 map이 나오고, $i+j=k$에서 모두 모으면 \(\bigoplus_{i+j=k}\Lambda^iV\otimes\Lambda^jW\longrightarrow\Lambda^k(V\oplus W)\)가 된다. $V$의 basis $e_1,\dots,e_m$과 $W$의 basis $f_1,\dots,f_n$을 합친 것이 $V\oplus W$의 basis이므로, 양쪽에서 오름차순 첨자로 basis를 세면 차원이 \(\dim\Lambda^k(V\oplus W)=\binom{m+n}k=\sum_{i+j=k}\binom mi\binom nj=\sum_{i+j=k}\dim(\Lambda^iV\otimes\Lambda^jW)\)로 같다(Vandermonde의 항등식). 위 map이 각 첨자 조합의 basis 원소를 서로 다른 basis 원소로 보내므로(오름차순으로 $V$쪽 $i$개, $W$쪽 $j$개를 뽑아 합친 것과 정확히 대응) basis를 basis로 보내는 isomorphism이다. $\blacksquare$

이 글에서 다룬, $k$개의 벡터가 만드는 도형의 넓이·부피 같은 대상을 좌표 없이 다루기 위해 곱을 $k$-linear하면서 alternating이도록 요구하는 관점의 뿌리는 Hermann Grassmann이 1844년 《Die lineale Ausdehnungslehre》에서 세운 확장론이다 [2]. Grassmann은 오늘날의 vector space, 일차독립, 차원, 그리고 wedge product에 해당하는 것을 이미 담았지만, 서술이 지나치게 추상적이고 철학적이어서 당대에는 거의 읽히지 않았고 수십 년이 지나서야 제대로 평가받았다.

참고문헌

  1. Samuel, P. (1948). On universal mappings and free topological groups. Bulletin of the American Mathematical Society, 54(6), 591–598.
  2. Grassmann, H. (1844). Die lineale Ausdehnungslehre, ein neuer Zweig der Mathematik. Leipzig: Otto Wigand.